ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 149
III. Скрещивающиеся плоскости
Две плоскости называются скрещивающимися, если они не пересекаются
и не параллельны.
Из элементарной геометрии хорошо известно, что на плоскости нет скре-
щивающихся прямых. Прямые на плоскости либо пересекаются, либо парал-
лельны. Но уже в трехмерном пространстве A
3
скрещивающиеся прямые су-
ществуют. З ато в трехмерном пространстве нет скрещивающихся плоскостей:
плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Очевидно, что вопрос о су-
ществовании пересекающихся плоскостей упирается в соотношение размерно-
стей рассматриваемых плоскостей и а ф финного пространства, в котором они
расположены. С увеличением размерности пространства его свойства становит-
ся более «богатыми», в результате чего появляется возможность строить в нем
скрещивающиеся плоскости любых размерностей. Рассмотрим общий прием по-
строения скрещивающихся плоскостей в аффинном пространстве A
n
.
Пусть в пространстве A
n
задана плоскость π
l
и пусть необходимо построить
некоторую скрещивающуюся с ней плоскость π
k
. Как следует из примеров, при-
веденных выше, размерность этой плоскости должна подчиняться некоторому
ограничению. Для выяснения этого ограничения предположим, что существует
некоторая плоскость π
′
k
той же размерности k , которая пересекается с плоско-
стью π
l
, но ни в коем случае не параллельна ей. Обозначим через π
m
плоско сть ,
по которой пересекаются плоскости π
′
k
и π
l
, а через π
r
— плоскость наименьшей
размерности, содержащую π
′
k
и π
l
одновременно.
Согласно соотношению (1 6.1), размерности указанных плоскостей связаны
равенством r = k +l−m. Если r = k +l−m < n, то плоскость π
r
не исчерпывает
все пространство A
n
. В силу этого существует множество точек, не принадле-
жащих π
r
. Из этого множества можно выбрать, если она не задана, некоторую
точку M и через эту точку провести искомую плоскость π
k
, параллельную π
′
k
.
Последнее осуществляется достаточно просто, поскольку для плоскости π
k
в
качестве направляющего подпространства следует выбрать направ ляющее под-
пространство плоскости π
′
k
.
Проведя обратные рассуждения, убедимся в правильности нашего построе-
ния: плоскость π
k
скрещивается с заданной плоскостью π
l
. Действительно, плос-
кость π
k
не может быть параллельной плоскости π
l
, так как в противном случае
или L
k
⊂ L
l
, или L
k
⊃ L
l
, а это противоречит условию расположения π
′
k
и π
l
:
L
l
∩ L
k
= L
m
. Теперь убедимся, что π
k
и π
l
не пересека ют ся. Проведем через
точку M вспомогательную плоскость π
′
r
, параллельную π
r
. Тогда π
k
⊂ π
′
r
, и
поэтому π
k
не может пересечь π
l
, ибо в противном случае т очка их пересечения
принадлежала бы параллельным плоскостям π
r
и π
′
r
. Это означает, что π
k
и π
l
действительно скрещиваются. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 16.2. Пусть π
′
k
, π
m
, π
r
— плоскости размерностей k, m и r соответ-
ственно, причем π
m
= π
′
k
∩ π
l
, а π
r
— плоскость наименьшей размерности,
такая, что π
′
k
⊂ π
r
, π
l
⊂ π
r
. Тогда если r = k + l −m < n, то всякая k-мерная
плоскость, которая параллельна плоскости π
′
k
и не лежит в плоскости π
r
,
скрещивается с плоскостью π
l
.
Следствие 16.2.1. Если четыре целых положительных числа k, l, m, n удовле-
творяют неравенствам
0 6 m < k, 0 6 m < l, k + l − m < n, (16.30)
то в аффинном пространстве A
n
всегда найдется пара скрещивающихся плос-
костей π
k
и π
l
с направляющими подпространствами L
k
и L
l
соответственно,
пересечение которых L
k
∩ L
l
= L
m
имеет размерность m.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- …
- следующая ›
- последняя »
