Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

148 Глава 4. Аффинные пространства
Решение. Как показано в примере 8.1, объединенная система (16.25) и (16.26)
имеет единственное решение x
1
= 2, x
2
= −3, x
3
= −1. Это означает, что
плоскости π
1
и π
′
1
пересекаются в единственной точке M с такими же ко орди-
натами. Нетрудно проверить, что заданная точка N(0, −3, −1) не принадлежит
ни прямой π
1
, ни прямой π
′
1
. Найдем теперь направляющие подпространства
L
1
и L
′
1
плоскостей π
1
и π
′
1
соответственно. Для этого выпишем приведенные
однородные системы систем (16.25) и (16.26)
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
= 0,
x
1
− x
2
+ 3x
3
= 0
(16.27)
и
3x
1
− 6x
2
− x
3
= 0,
x
1
− x
2
+ x
3
= 0.
(16.28)
Система (16.27) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из
одного вектора, который обозначим как ~e
1
= (−11, −2, 3) и линейная оболоч-
ка которого определяет направляющее подпространство L
1
. Соответственно,
система (16.28) определяет единственный вектор ~e
′
1
= (−7, −4, 3), линейная
оболочка которого, в свою очередь, определяет линейное подпространство L
′
1
.
В силу линейной независимости векторов ~e
1
и ~e
′
1
мы можем построить дву-
мерное пространство L
2
, являющееся прямой суммой подпространств L
1
и L
′
1
,
т.е. L
2
= L
1
⊕ L
′
1
с базисом из ~e
1
и ~e
′
1
. Теперь, следуя определению (15.1 ) и
(15.2), можно записать параметрические уравнения плоско сти π
2
, проходящей
через точку N в направлении подпространства L
2
, т.е. параллельно как прямой
π
1
, так и прямой π
′
1
:
x
1
= −11t
1
− 7t
2
,
x
2
= −3 − 2t
1
− 4t
2
, (16.29)
x
3
= −1 + 3t
1
+ 3t
2
.
Выразив из 2-го и 3-го уравнений системы (16.29) параметры t
1
и t
2
через x
2
и
x
3
:
t
1
=
13
6
+
1
2
x
2
+
2
3
x
3
, t
2
= −
11
6
−
1
2
x
2
−
1
3
x
3
и подставив их в первое уравнение (16.29), получим искомое уравнение плоско-
сти
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
= −11.
Пример 16.7. Исследовать взаимное расположение плоскостей
π :
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0,
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0
и
Рис. 8.
π
′
:
2x
1
+ 6x
2
− 10x
3
− 9x
4
+ 3x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0,
x
1
+ 5x
2
− 8x
3
− 8x
4
+ 2x
5
= 0
из пространства A
5
.
Решение. В примере 16.2 было показано, что плоско сть π является трехмерной
плоскостью в пространстве A
5
, а плоскость π
′
– двумерной, причем плоскость
π
′
целиком принадлежит плоскости π. Согласно определению, такие плоскости
считаются не то ль ко пересекающимися, но и па раллельными (рис. 8).

Страницы