ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
150 Глава 4. Аффинные пространства
Следствие 16.2.2. Существует единственная плоскость π
r+1
размерности r +
1 = k +l−m+1, содержащая скрещивающиеся плоскости π
k
и π
l
, определенные
в следствии 16.2.1.
♦ Смысл последнего утверждения становится прозрачным, если вспомнить,
что единственная трехмерная плоскость (пространство) π
3
содержит дв е скре-
щивающиеся прямые π
1
и π
′
1
: r + 1 = 1 + 1 − 0 + 1 = 3.
Следующее следствие, по сути, обобщает предыдущее.
Следствие 16.2.3. Если скрещивающиеся плоскости π
k
и π
l
лежат в некото-
рой плоскости π
s
, то
s > k + l − m + 1. (16.31)
Следствие 16.2.4. Если скрещивающиеся плоскости π
k
и π
l
лежат в некото-
ром аффинном пространстве A
n
, то
k 6 n − 2, l 6 n − 2. (16.32)
Эти неравенства следуют из (16.31) при s = n и (16.30), если соотношения
m < k и m < l записать в виде k − m > 1, l − m > 1.
Следствие 16.2.5. Гиперплоскость не может скрещиваться с плоскостью лю-
бой размерности из заданного пространства A
n
.
Действительно, в этом случае условия (16.32) не выполняются, поскольку
размерность гиперплоскости равна n−1, и, следовательно, должно быть n−1 6
n − 2 или 0 > 1, что невозможно.
Проиллюстрируем приведенные выше утверждения примерами.
Пример 16.8. Записать уравнение какой-либо плоскости, скрещивающейся в
аффинном пространстве A
3
с прямой
π
1
:
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1.
(16.33)
Решение. С учетом размерности пространства A
3
и плоскости π
1
, имеем n = 3,
k = 1. Следовательно, первое неравенство (16.32) выполняется. Из второго
неравенства найдем l 6 1. Случай l = 0 тривиален (так как определяет точку),
а случай l = 1 соответствует одномерной плоскости π
′
1
. Таким образом, плоско-
стью, скрещивающейся с прямой π
1
(16.33), является другая прямая π
′
1
. Чтобы
ее найти, построим вспомогательную прямую π
′′
1
, пересекающуюся с прямой π
1
.
Это можно сделать, оставив в (16.33) первое уравнение (или первую гипер-
плоскость) без изменения, а в левой части второго уравнения заменить любой,
например первый, коэффициент уравнения. Геометрически такая замена соот-
ветствует замене одной гиперплоскости другой, пересекающейся с ней. Итак,
для вспомогательной прямой π
′′
1
имеем
π
′′
1
:
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
x
1
+ x
2
− x
3
= −1.
(16.34)
Следующим шагом, согласно теореме 16.2, должно быть построение плос-
ко сти π
2
, содержащей прямые π
1
и π
′′
1
. Предварительно, однако, убедимся , что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- …
- следующая ›
- последняя »
