ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
152 Глава 4. Аффинные пространства
Рис. 9.
упрощено. Действительно, как показано в примере 16.5, исходные уравнения
прямой π
1
(16.33) можно записать в параметрической фо рме:
x
1
= t, x
2
= −2 − 5t, x
3
= −1 − 3t. (16.41)
Отсюда следует, что прямая π
1
проходит через точку M(0, −2, −1) в направ -
лении вектора ~e = (1, −5, −3). Изменив одну из координат точки и вектора,
можно по лучить различные различные прямые, скрещивающиеся с исходной
прямой π
1
, например
a) x
1
= 1 + 2t, x
2
= −2 − 5t, x
3
= −1 − 3t,
б) x
1
= t, x
2
= 2t, x
3
= −1 − 3t.
Если же выбрать N(1, 0, 0) и ~e
′
= (−1, 3, 2), то получим пря мую (16.39), (16.40),
найденную первым способо м (см. рис. 9).
Пример 16.9. Записать уравнение плоскости, скрещивающейся в аффинном
пространстве A
4
с плоскостью
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= 5. (16.42)
Реш ение. Плоскость (16.42) в аффинном пространстве A
4
является гиперплос-
костью. Таким образом, согласно следствию 16.2.4, не существует никакой плос-
кости, скрещивающейся с заданной плоскостью.
Напомним, что условия, при выполнении которых две плоско ст и скрещива-
ются, задаются теоремой 16.2, а условия их параллельности — теоремой 16.1.
В заключение докажем теорему, определяющую доста точные условия пересе-
чения двух плоскостей.
Теорема 16.3 (достаточное условие пересечения плоскостей). Если π
k
и
π
l
— плоскости из аффинного пространства A
n
, причем
k + l − m > n, (16.43)
где m — размерность пересечения L
m
= L
k
∩L
l
направляющих подпространств
L
k
и L
l
, то такие плоскости пересекаются.
Доказательство. При k = l = n справедливость утверждения очевидна. При
k < l, l < n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- …
- следующая ›
- последняя »
