ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 147
координаты точки M заменить координатами точки N, то мы получим парамет-
рические уравнения искомой прямой π
1
как прямой, проходящей через точку
N параллельно прямой π
′
1
(см. рис. 7):
x
1
= 1 + t, x
2
= −4 −5t, x
3
= 2 − 3t. (16.21)
Выразив параметр t из первого урав-
Рис. 7.
нения и подставив его в о стальные два,
получим представление прямой π
1
как
пересечения двух плоскостей трехмер-
ного пространства A
3
:
5x
1
+ x
2
= 1,
3x
1
+ x
3
= 5.
(16.22)
2-й способ. Как следует их теоре-
мы 16.1, искомая и заданная прямые
должны описываться системами урав-
нений, приведенные (однородные) си-
стемы которых эквивалентны. Следо-
вательно, уравнение прямой π
1
можно
искать в виде
x
1
− x
2
+ 2x
3
= λ,
2x
1
+ x
2
− x
3
= µ.
(16.23)
Значения величин λ и µ можно найти из условия принадлежности точки N
прямой π
1
. Подставив координаты точки N x
1
= 1, x
2
= −4, x
3
= 2 в уравнения
(16.23), найдем λ = 9, µ = −4. Таким образом, прямая π
1
является пересечением
двух плоскостей
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 9,
2x
1
+ x
2
− x
3
= −4.
(16.24)
Нетрудно установить, что система (16.24) эквивалентна системе (16 .22), по-
лученной первым способом. Действительно, выписав расширенную матрицу си-
стемы (16.22) и проведя указанные элементарные преобразования:
e
A =
1 −1 2
2 1 −1
9
−4
∼
S
2
+S
1
1 −1 2
3 0 1
9
5
S
1
−2S
2
∼
−5 −1 0
3 0 1
−1
5
,
придем к системе
5x
1
+ x
2
= 1,
3x
1
+ x
3
= 5,
совпадающей с (16.22), что и требов алось показать.
Пример 16.6. В пространстве A
3
найти уравнение плоскости π
2
, проходящей
через точку N(0, −3, −1) параллельно двум прямым
π
1
:
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
= −9,
x
1
− x
2
+ 3x
3
= 2
(16.25)
и
π
′
1
:
3x
1
− 6x
2
− x
3
= 25,
x
1
− x
2
+ x
3
= 4.
(16.26)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- …
- следующая ›
- последняя »
