ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 145
с пропорциональными коэффициентами при координатах текущих точек:
a
1
a
′
1
=
a
2
a
′
2
= . . . =
a
n
a
′
n
. (16.11)
Если все коэффициенты уравнений (16.10) пропорциональны:
a
1
a
′
1
=
a
2
a
′
2
= . . . =
a
n
a
′
n
=
b
b
′
, (16.12)
то гиперплоскости совпадают.
Следствие 16.1.2. В аффинном пространстве A
n
существует единственная
плоскость π
′
k
, проходящая через данную точку N параллельно заданной плоско-
сти π
k
той же размерности. Если N ∈ π
k
, то π
′
k
и π
k
совпадают, если же N /∈ π
k
,
плоскости π
′
k
и π
k
не пересекаются.
Пример 16.4. Исследовать взаимное расположение прямой
π
1
:
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1
(16.13)
и плоскости
π
2
: 4x
1
− x
2
+ 3x
3
= λ (16.14)
в пространстве A
3
в зависимости о т значений параметра λ.
Решение. Составим расширенную матрицу системы (16.13) и проведем ука-
занные элементарные преобразования:
e
A =
1 −1 2
2 1 −1
0
−1
∼
S
2
+S
1
1 −1 2
3 0 1
0
−1
S
1
−2S
2
∼
−5 −1 0
3 0 1
2
−1
.
В результате о бщее решение системы (16.13) имеет вид x
2
= −2 −5x, x
3
= −1 −
3x
1
. Тогда параметрические уравнения прямой π
1
можно записать следующим
образом:
x
1
= t, x
2
= −2 − 5t, x
3
= −1 − 3t. (16.15)
Как следует из (16.15 ), заданная прямая проходит через точку M с коорди-
натами (0, −2, −1)
⊺
(при t = 0) в направлении подпространства L
1
, являющего-
ся линейной оболочкой вектора ~e = (1, −5, −3).
Чтобы найти направляющее подпространство плоскости π
2
, рассмотрим од-
нородное уравнение
4x
1
− x
2
+ 3x
3
= 0, (16.16)
отвечающее (16.13). Его общее решение имеет вид
X =
x
1
x
2
x
3
!
=
x
1
4x
1
+ 3x
3
x
3
!
, (16.17)
где x
1
и x
3
— свободные неизвестные. Положив, например, x
1
= 1, x
3
= 0
или x
1
= 0, x
3
= 1, найдем два линейно независимых столбца, образующих
фундаментальную систему решений уравнения (16.16):
X
1
=
1
4
0
!
, X
2
=
0
3
1
!
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- …
- следующая ›
- последняя »
