ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 143
Рассмотрим теперь, как преобразуются уравнения прямой (16.3 ) и плоскости
(16.4) при переносе начальной точки репера O(0, 0, 0) в точку их пересечения
M(2, −2, 1). Такое преобразование соответствует параллельному переносу на
вектор
−−→
OM = (2, −2, 1), при котором координаты преобразуются по закону
(14.10). В нашем случае это соответствует преобразованию координат
x
1
= x
′
1
+ 2, x
2
= x
′
2
− 2, x
3
= x
′
3
+ 1. (16.6)
Подстановка (16 .6) в неоднородные уравнения (16.3), (16.4) преобразует их в
однородные:
x
′
1
+ 2x
′
2
− x
′
3
= 0,
x
′
1
− x
′
2
− x
′
3
= 0
для плоскости и
2x
′
1
+ 3x
′
2
+ x
′
3
= 0
для прямой.
Пример 16.2. Найти пересечение двух двумерных плоскостей
π
2
:
4x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
+ 5x
4
= 0,
3x
2
+ 2x
3
= 1
и
π
′
2
:
2x
1
+ 3x
2
− x
4
= 10,
x
1
+ x
2
− 5x
3
= −10
из четырехмерного аффинного пространства A
4
.
Решение. Согласно теореме 15.2, пересечение плоскостей определяется реше-
нием объединенной системы
4x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
+ 5x
4
= 0,
3x
2
+ 2x
3
= 1,
2x
1
+ 3x
2
− x
4
= 10,
x
1
+ x
2
− 5x
3
= −10.
Решение этой системы получено в примере 7.2 и имеет вид
x
1
= 1, x
2
= −1, x
3
= 2, x
4
= −2.
Это означает, что в четырехмерном пространстве A
4
две двумерные плоскости
π
2
и π
′
2
пересекаются в одной точке M с координатами (1 , −1, 2, −2)
⊺
.
Пример 16.3. В пространстве A
5
найти пересечение плоскостей, проходящих
через начало репера:
π :
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0,
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0;
(16.7)
π
′
:
2x
1
+ 6x
2
− 10x
3
− 9x
4
+ 3x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0,
x
1
+ 5x
2
− 8x
3
− 8x
4
+ 2x
5
= 0.
(16.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- …
- следующая ›
- последняя »
