Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

142 Глава 4. Аффинные пространства
для любых двух пересекающихся плоскостей π
k
, π
l
из A
n
.
Из (16.2) следует, например, что две двумерные плоскости в трехмерном
пространстве A
3
не могут пересекаться в одной точке, а пересекаются только
по прямой (m > 2 + 2 − 3 = 1) или совпадают (m = 2). Интересно, что уже в
четырехмерном пространстве A
4
две двумерные плоскости могут пересекаться
в одной точке (см. пример 16.1), поскольку, согласно (16.2), m > 2 + 2 − 4 = 0
и т.д.
Справедливость сформулированных выше утверждений естественным обра-
зом вытекает из теоремы 15.2 и е¨е следствий.
Пример 16.1. Н айти пересечение прямой
π
1
:
x
1
+ 2x
2
− x
3
= −3,
x
1
− x
2
− x
3
= 3
(16.3)
и плоскости
π
2
: 2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= −1 (16.4)
из пространства A
3
. Как преобразуются эти уравнения при переносе начальной
точки репера в точку пересечения?
Решение. Первый способ. Согласно определению, пересечение плоскостей π
1
и
π
2
задается решением объединенной системы (16.3) и (16.4):
x
1
+ 2x
2
− x
3
= −3,
x
1
− x
2
− x
3
= 3,
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= −1.
Эта система имеет единственное решение x
1
= 2, x
2
= −2, x
3
= 1 (см. при-
мер 16.2), что соответствует точке пересечения M с координатным столбцом
(2, −2, 1)
⊺
.
Второй способ. Запишем уравнения прямой (16.3 ) в параметрическо й фор-
ме. Для этого выпишем ра сш иренную матрицу системы (16.3) и проведем ука-
занные элементарные преобразования:
1 2 −1
1 −1 −1
−3
3
∼
S
2
−S
1
1 2 −1
0 −3 0
−3
6
∼
2S
2
/3
∼
1 2 −1
0 −1 0
−3
2
S
1
+2S
2
∼
1 0 1
0 −1 0
1
2
.
В результате получим общее решение системы
X =
x
1
x
2
x
3
!
=
1 + x
3
−2
x
3
!
.
Заменив свободное неизвестное x
3
параметром t, запишем параметрические
уравнения
x
1
= 1 + t, x
2
= −2, x
3
= t. (16.5)
Подставив (16.5) в (16.4), найдем значение параметра t = 1, соответствующее
точке пересечения прямой и плоскости. Теперь, подставив это значение пара-
метра в (16.5), получим координаты точки пересечения: x
1
= 2, x
2
= −2, x
3
= 1,
совпадающие с вычисленными первым способом.

Страницы