ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
140 Глава 4. Аффинные пространства
Пример 15.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пе-
ресечением следующих гиперплоскостей аффинного пространства A
5
:
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 1,
2x
1
+ x
3
+ 3x
4
− x
5
= 2,
−2x
2
+ x
3
+ 5x
4
− 3x
5
= 0,
x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 9x
4
− 5x
5
= 2.
(15.37)
Решение. Как показано в примере 8.4 , система линейных уравнений (15.37 )
несовместна. Следовательно, нет ни одной точки, принадлежащей сразу всем
гиперплоскостям, которые задаются уравнениями системы ( 15.37).
Пример 15.11. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пе-
ресечением следующих гиперплоскостей из аффинного пространства A
5
:
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 1,
2x
1
+ x
3
+ 3x
4
− x
5
= 2,
−2x
2
+ x
3
+ 5x
4
− 3x
5
= 0,
x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 9x
4
− 5x
5
= 1.
(15.38)
Решение. Система (15.38) отличается о т системы (15.37) из предыдущего при-
мера только правой частью в последнем уравнении. Однако, как показано в
примере 8.3, в этом случае система (15.38) совместна и эквивалентна системе
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 1,
2x
2
− x
3
− 5x
4
+ 3x
5
= 0,
(15.39)
кот орая определяет плоскость, являющуюся трехмерным аффинным простран-
ством как пересечение гиперплоскостей.
Чтобы записать параметрические уравнения плоскости, нужно найти ко -
ординаты какой-либо точки N, ей принадлежащей, и направляющее подпро-
странство L
3
этой плоскости. Система (15.39) позволяет легко сделать это. Так,
положив x
2
= x
4
= x
5
= 0, получим x
1
= 1, x
3
= 0. Это о значает, что коорди-
наты точки N образуют столбец (1, 0, 0, 0, 0, )
⊺
. Учтем, что для системы (15.39)
приведенная система
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 0,
2x
2
− x
3
− 5x
4
+ 3x
5
= 0,
общее решение которой можно записать в виде
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−x
2
+ x
4
− x
5
x
2
2x
2
− 5x
4
+ 3x
5
= 0
x
4
x
5
,
имеет фундаментальную систему решений
X
1
=
−1
1
2
0
0
, X
2
=
1
0
−5
1
0
, X
3
=
−1
0
3
0
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- …
- следующая ›
- последняя »
