Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15. Плоскости в аффинном пространстве 139
Пример 15.8. Для аффинного пространства A
4
записать уравнение гипер-
плоскости π
3
, проходящей через четыре точки: N
1
(1, 2, 1, 4), N
2
(2, 2, 1, 3),
N
3
(2, 3, 2, 5), N
4
(1, 3, 3, 7).
Решение. Воспользовавшись формулой (15.33), имеем
x
1
x
2
x
3
x
4
1
1 2 1 4 1
2 2 1 3 1
2 3 2 5 1
1 3 3 7 1
= 0.
Вычтя вторую стро ку этого определителя из всех остальных и разложив его
затем по первой строке
(x
1
−1)
0 0 −1
1 1 1
1 2 3
−(x
2
−2)
1 0 −1
1 1 1
0 2 3
+(x
3
−1)
1 0 −1
1 1 1
0 1 3
−(x
4
−4)
1 0 0
1 1 1
0 1 2
= 0,
найдем искомое уравнение гиперплоскости
x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 2.
Это уравнение совпадает с уравнением гиперплоскости (15.24), найденным в
примере 15.5 и имеющим параметрическую форму (15.21). Легко проверить,
что заданные точки N
1
, N
2
, N
3
, N
4
соответствуют значениям параметров t
1
=
t
2
= t
3
= 0; t
1
= 1, t
2
= t
3
= 0; t
2
= 2, t
1
= t
3
= 0; t
3
= 1, t
1
= t
2
= 0
соответственно.
Пример 15.9. Существует ли в аффинном пространстве A
4
гиперплоскость,
проходящая через пять точек: N
1
(1, 2, 1, 4), N
2
(2, 2, 1, 3), N
3
(2, 3, 2, 5), N
4
(1, 3, 3, 7),
N
5
(3, 4, 4, 7).
Решение. Условие принадлежности (n+1)-ой точки некоторой гиперплоскости
пространства A
n
задается формулой (15.34). Согласно этой формуле, следует
проверить выполнение равенства
1 2 1 4 1
2 2 1 3 1
2 3 2 5 1
1 3 3 7 1
3 4 4 7 1
= 0.
Для вычисления этого определителя проведем следующие преобразования:
1 2 1 4 1
2 2 1 3 1
2 3 2 5 1
1 3 3 7 1
3 4 4 7 1
S
2
−S
1
S
3
−S
1
∼
S
4
−S
1
S
5
−S
1
1 2 1 4 1
1 0 0 −1 0
1 1 1 1 0
0 1 2 3 0
2 2 3 3 0
∼
S
5
−S
2
−S
3
−S
4
1 2 1 4 1
1 0 0 −1 0
1 1 1 1 0
0 1 2 3 0
0 0 0 0 0
.
Наличие в определителе нулевой строки означает выполнение требуемого ра-
венства (15.34), из чего следует существование гиперплоскости, проходящей че-
рез заданные точки. Для записи уравнения этой гиперплоскости достаточно
четырех точек. Если отбросить точку N
5
, оставив точки N
1
, N
2
, N
3
, N
4
, то урав-
нение этой плоскости, как показано в примере 15.8, имеет вид
x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 2.

Страницы