Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15. Плоскости в аффинном пространстве 137
с матрицей
x
1
− x
(1)
1
x
2
− x
(1)
2
. . . x
n
− x
(1)
n
x
(2)
1
− x
(1)
1
x
(2)
2
− x
(1)
2
. . . x
(2)
n
− x
(1)
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
(n)
1
− x
(1)
1
x
(n)
2
− x
(1)
2
. . . x
(n)
n
− x
(1)
n
(15.28)
и столбцом
Y =
a
1
a
2
. . .
a
n
. (15.29)
Систему (15.27) можно рассматривать ка к линейную алгебраическую систему
уравнений для определения неизвестных коэффициентов a
i
из (15.25), состав-
ляющих столбец Y . Поскольку коэффициенты a
i
не должны быть рав ны нулю
одновременно, то система (15.27) должна иметь нетривиальные решения. Как
известно, условием существования нетривиального решения однородной систе-
мы является равенство нулю определителя матрицы ее системы, т.е.
det A =
x
1
− x
(1)
1
x
2
− x
(1)
2
. . . x
n
− x
(1)
n
x
(2)
1
− x
(1)
1
x
(2)
2
− x
(1)
2
. . . x
(2)
n
− x
(1)
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
(n)
1
− x
(1)
1
x
(n)
2
− x
(1)
2
. . . x
(n)
n
− x
(1)
n
= 0. (15.30)
Если
rang
˜
A = n − 1 , (15.31)
где
˜
A — матрица, полученная из A удалением i- й строки, то уравнение (15.30)
есть уравнение искомой гиперплоскости. Действительно, разложив определи-
тель (15.30) по элементам первой строки, получим уравнение
a
1
(x
1
− x
(1)
1
) + a
2
(x
2
− x
(1)
2
) + . . . + a
n
(x
n
− x
(1)
n
) = 0 (15.32)
с коэффициентами a
i
, равными определителям (n−1)-го порядка, порождаемым
матрицей A. Согласно условию (15.31), среди этих определителей есть хо тя б ы
один, отличный от нуля, и, следовательно, хотя бы один отличный от нуля
коэффициент a
i
.
При выводе уравнения (15.30) мы особо выделили точку N
1
. Очевидно, что
вместо не¨е аналогичным образом можно использовать любую другую точку.
Более того, уравнение (15.30) можно записать в виде, «симметричном» относи-
тельно всех точек, определяющих плоскость:
x
1
x
2
. . . x
n
1
x
(1)
1
x
(1)
2
. . . x
(1)
n
1
x
(2)
1
x
(2)
2
. . . x
(2)
n
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
(n)
1
x
(n)
2
. . . x
(n)
n
1
= 0. (15.33)
Действительно, вычтя в определителе (15.33) вторую строку из всех осталь ных
и разложив его затем по последнему столбцу, получим уравнение (15.30). Заме-
тим, что на практике удобнее использова ть ту строку, ко торая в определителях
(15.30) или (15.33) да¨ет наибольшее количество нулей.

Страницы