Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

136 Глава 4. Аффинные пространства
получим
t
1
= −2 − x
1
+ 2x
2
− x
3
,
t
2
= 3 − 2x
2
+ x
3
, (15.23)
t
3
= −1 + x
2
− x
3
.
Подставив (15.23) в четвертое уравнение системы (15.21), на йдем связь между
координатами текущей точки плоскости π
3
:
x
1
− x
2
− x
3
− x
4
= 6. (15.24)
Неудивительно, что мы получили одно уравнение, поскольку трехмерная
плоскость π
3
в четырехмерном аффинном пространстве A
4
является гиперплос-
костью, которая, согласно следствию 15.2.4, всегда зада¨ется одним уравнением.
Пример 15.6. Найти размерность n аффинного пространства, в котором пря-
мая является одновременно гиперплоскостью.
Решение. В двумерном а ффинном пространстве A
2
гиперплоскостью является
одномерная плоскость, т.е. прямая. Следовательно, n = 2.
Пример 15.7. Найти общее уравнение гиперплоскости аффинного простран-
ства A
n
, проходящей через n точек N
1
, N
2
, . . . , N
n
.
Решение. В параметрической форме решение этой задачи да¨ется формулой
(15.1), в ко торой роль векторов
−−→
ON,
~
f
1
, . . . ,
~
f
n−1
играют векторы
−−→
ON
1
и
−−−→
N
1
N
2
,
−−−→
N
1
N
3
, . . . ,
−−−→
N
1
N
n
соответственно. Однако, как показано в примере 15.5, пере-
ход от параметрических уравнений к общим связан с большим объемом вы-
числений. Поэтому возникает потребность в получении общего уравнения, не
требующего предварительного на хождения параметрических уравнений.
Итак, пусть x
(1)
i
, x
(2)
i
, . . . , x
(n)
i
, i = 1, n, — координаты точек N
1
, . . . , N
n
со-
ответственно. Согласно следствию 15.2.3, уравнение гиперплоскости всегда за-
да¨ется одним уравнением (15.14), а именно
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b, (15.25)
где x
i
, i = 1, n, — координаты текущей точки гиперплоскости N(x
1
, . . . , x
n
). Так
как искомая гиперплоскость проходит через точки N
1
, . . . , N
n
, то их координаты
должны удовлетворять уравнениям (15.25), т.е. должны выполняться равенства
a
1
x
(1)
1
+ a
2
x
(1)
2
+ . . . + a
n
x
(1)
n
= b,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (15.26)
a
1
x
(n)
1
+ a
2
x
(n)
2
+ . . . + a
n
x
(n)
n
= b,
каждое из которых определяет правую часть уравнения гиперплоскости (15.25),
т.е. величину b через коэффициенты a
i
, i = 1, n.
Вычтя любое из уравнений (15.26), например первое, из остальных, а также
из уравнения (15.25), получим однородную систему n уравнений
AY = 0 (15.27)

Страницы