Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

138 Глава 4. Аффинные пространства
Отметим, что если n точек дополнить (n + 1)-й точкой с координатами
N
n+1
(x
(n+1)
1
, x
(n+1)
2
, . . . , x
(n+1)
n
), то условие (15.30) в виде
x
(n+1)
1
− x
(1)
1
x
(n+1)
2
− x
(1)
2
. . . x
(n+1)
n
− x
(1)
n
x
(2)
1
− x
(1)
1
x
(2)
2
− x
(1)
2
. . . x
(2)
n
− x
(1)
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
(n)
1
− x
(1)
1
x
(n)
2
− x
(1)
2
. . . x
(n)
n
− x
(1)
n
= 0
или условие (15.31) в виде
x
1
x
2
. . . x
n
1
x
(1)
1
x
(1)
2
. . . x
(1)
n
1
x
(2)
1
x
(2)
2
. . . x
(2)
n
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
(n)
1
x
(n)
2
. . . x
(n)
n
1
x
(n+1)
1
x
(n+1)
2
. . . x
(n+1)
n
1
= 0 (15.34)
можно рассматривать как условие принадлежности точки N
n+1
к некоторой
гиперплоскости π
n−1
из пространства A
n
.
Рассмотрим теперь случай, когда
rang
˜
A 6 n − 2. (15.35)
В этом случае нетривиальное решение системы
˜
AY = 0 определено, по меньшей
мере, с точностью до двух произвольных постоянных:
Y = C
1
a
(1)
1
. . .
a
(1)
n
+ C
2
a
(2)
1
. . .
a
(2)
n
.
Подставив это решение в (15.25), получим
C
1
n
X
i=1
a
(1)
i
(x
i
− x
(1)
i
) + C
2
n
X
i=1
a
(2)
i
(x
i
− x
(1)
i
) = 0. (15.36)
Отсюда следует, что различным не пропорциональным между собой постоян-
ным C
1
и C
2
будут соответствоват ь заведомо разные плоскости, проходящие
через заданные n точек. По сути, это означает, что система векторов
−−−→
N
1
N
2
, . . . ,
−−−→
N
1
N
n
линейно зависима, т.е. по крайней мере один из векторов этой системы
является линейной комбинацией остальных. Если из (n − 1)-го вектора этой
системы можно выбрать n − 2 линейно независимых, то их линейную оболоч-
ку можно рассматривать как направляющее подпространство пло скости π
n−2
размерности n − 2, которая проходит через эти точки. Тогда множество гипер-
плоскостей, определяемых уравнением (15.3 6), будет представлять собой так
называемый пучок гиперплоскостей, проходящих через плоскость π
n−2
, кото-
рая, в сво ю очередь, проходит через заданные n точек.
Отметим, что по мере уменьшения ранга матрицы A число линейно незави-
симых векторов уменьшается вплоть до единственного вектора. В этом случае
все n точек лежат на одной прямой π
1
, через которую и проходит множество
гиперплоскостей (15.27).

Страницы