ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15. Плоскости в аффинном пространстве 135
Решение. Система (15.19) была рассмотрена в примере 9.2, где было найдено,
что матрица системы
A =
1 λ 2
4 −1 7
2 1 3
!
имеет ранг rang A = 3 при λ 6= −1 и rang A = 2 при λ = −1.
В первом случае, при λ 6= −1, однородная система (15.1 9) имеет только три-
виальное решение, т.е. определяет нульмерное пространство, которым являет-
ся начальная точка O(0, 0, 0). Во втором случае, при λ = −1, система имеет
нетривиальное решение, при этом фундаментальная система решений состоит
из одного вектора
X
1
=
−5/3
1/3
1
!
, (15.20)
т.е. система (15.19) определяет прямую линию. С помощью вектора (15.20 ) легко
записать ее параметрические уравнения
x
1
= −
5
3
t, x
2
=
1
3
t, x
3
= t.
Исключив параметр t, получим каноническое уравнение прямой
−
3
5
x
1
= 3x
2
= x
3
.
Нетрудно заметить, что прямая проходит через начальную точку O(0, 0, 0).
Пример 15.5. Записать систему линейных уравнений плоскости π
3
в форме
(15.11), заданной в примере 15.2 параметрическими уравнениями.
Решение. Запишем систему параметрических уравнений
x
1
= 1 + t
1
+ t
2
,
x
2
= 2 + t
2
+ t
3
,
x
3
= 1 + t
2
+ 2t
3
,
x
4
= 4 − t
1
+ t
2
+ 3t
3
.
(15.21)
Из первых трех уравнений выразим параметры t
1
, t
2
, t
3
через координаты x
1
, x
2
, x
3
текущей точки плоскости π
3
. Для этого уравнения перепишем в виде
t
1
+ t
2
= 1 − x
1
,
t
2
+ t
3
= 2 − x
2
, (15.22)
t
2
+ 2t
3
= 1 −x
3
.
Проведя над расш иренной матрицей системы (15.22) следующие элементарные
преобразования:
e
A =
1 1 0
0 1 1
0 1 2
1 − x
1
2 − x
2
1 − x
3
!
∼
S
3
−S
2
=
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1 − x
1
2 − x
2
−1 + x
2
− x
3
!
S
2
−S
3
∼
∼
1 1 0
0 1 0
0 0 1
1 − x
1
3 − 2x
2
+ x
3
−1 + x
2
− x
3
!
S
1
−S
2
∼
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−2 − x
1
+ 2x
2
− x
3
3 − 2x
2
+ x
3
−1 + x
2
− x
3
!
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- …
- следующая ›
- последняя »
