ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15. Плоскости в аффинном пространстве 133
Смысл обратного утверждения заключается в том, что в аффинном про-
странстве A
n
любая плоскость π
r
может быть задана системой линейных урав-
нений вида (15.11) с матрицей A ранга s = n − r .
Действительно, исключив в параметрических уравнениях ( 15.3) параметры
t
i
, i = 1, r, получим систему уравнений вида (15.11) с матрицей A ранга s = n−r,
что и подтв ерждает высказанное выше утверждение.
Следствие 15.2.1. Однородная система (15.12) определяет плоско сть , прохо-
дящую через начальную точку. Напротив, только плоскость, проходящая через
начальную точку, описывается однородной системой (15.12 ).
Следствие 15.2.2. Нетривиальные решения однородной системы (15.12) опре-
деляют подпространство L
r
, которое является направляющим пространством
плоскости, задаваемой неоднородной системой (15.11).
Тривиальное решение (15.12) определяет нульмерное направляющее под-
пространство. При этом соответствующая неоднородная система (15.11) имеет
единственное решение и определяет нульмерную плоскость, представ ляющую
собой точку, координаты которо й задаются решением этой системы.
Следствие 15.2.3. Гиперплоскость определяется одним линейным алгебраи-
ческим уравнением
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b. (15.14)
Согласно определению, гиперплоскость представляет собой (n − 1)-мерную
плоскость π
n−1
. Следовательно, ранг системы линейных уравнений, определяю-
щей эту плоскость , должен быть равен единице. Но это и означает, что система
состоит из одного уравнения.
В связи с этим ка ждое из уравнений системы (15.11) можно рассмат рива ть
как уравнение некоторой гиперплоско сти. В результате каждую r-мерную плос-
кость можно рассматривать как пересечение некоторых гиперплоскостей, коли-
чество которых равно s = n − r. В частности, прямая в A
n
всегда всегда есть
пересечение (n − 1) гиперплоскостей. Например, в трехмерном пространстве
A
3
прямая есть пересечение двух двумерных гиперплоскостей (двух обычных
плоскостей в смысле элементарной геометрии).
Следствие 15.2.4. Если система линейных уравнений (15.11 ) имеет единствен-
ное решение и определяет нульмерное пространство, т.е. точку, то эта точка
принадлежит сразу всем гиперплоскостям из системы (15.11) и является точ-
кой их пересечения.
Следствие 15.2.5. Если система (15.11) несовместна, то геометрически это
означает, что нет ни одной точки, принадлежащей сразу всем гиперплоскостям,
которые задаются уравнениями системы (1 5.11).
Следствие 15.2.6. Из свойств системы линейных уравнений (15.11) известно,
что она имеет бесконечное множество эквивалентных ей систем. Возможность
перехода от системы (15.11) к эквивалентным ей системам геометрически озна-
чает, что плоскость π
r
можно о пределять как пересечение различных наборов
независимых s = n−r гиперплоскостей. Независимость гиперплоскостей (15.14)
понимается в смысле линейной независимости уравнений, входящих в любую
систему, о пределяющую плоскость π
r
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
