Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15. Плоскости в аффинном пространстве 131
Равенства (15.3) называются параметрическими уравнениями плоскости
π
r
в репере (O, ~e
1
, ~e
2
, . . . ,~e
n
).
Легко установить, что геометрическое место точек, определяемых парамет-
рическими уравнениями (15.3) при всевозможных значениях параметров t
i
,
i = 1, r, есть пло скость π
r
, проходящая через точку N(x
(0)
1
, x
(0)
2
, . . . , x
(0)
n
) па-
раллельно подпространству L
r
с базисом (
~
f
1
,
~
f
2
, . . . ,
~
f
r
). Действительно, систе-
ма (15.3) равносильна векторному равенству (15.1) , которое означает, что
−−→
NM
принадлежит L
r
, т.е. точка M есть текущая точка плоскости π
r
.
Если в системе (15.3) в еличины x
(0)
i
, i = 1, n, положить равными нулю, то
такая однородная система
x
1
= f
11
t
1
+ f
21
t
2
+ . . . + f
r1
t
r
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
n
= f
1n
t
1
+ f
2n
t
2
+ . . . + f
rn
t
r
(15.4)
будет представлять систему параметрических уравнений на пра вляющего под-
пространства L
r
.
Действительно, при x
(0)
i
= 0, i = 1, n, система (15.4) определяет плоскость,
проходящую через начальную т очку O, которая , согласно следствию 15.1.2, сов-
падает с L
r
.
Рассмотрим частный случай системы (15.3) при r = 1. В этом случае пара-
метрические уравнения
x
1
= x
(0)
1
+ f
1
t,
x
2
= x
(0)
2
+ f
2
t,
. . . . . . . . . . . . ,
x
n
= x
(0)
n
+ f
n
t
(15.5)
определяют одномерную плоскость π
1
, т.е. прямую. Исключив в системе (15.5)
параметр t, получим
x
1
− x
(0)
1
f
1
=
x
2
− x
(0)
2
f
2
= . . . =
x
n
− x
(0)
n
f
n
= t. (15.6)
Урав нения (15.6) называются каноническими, а (15.5) — параметрически-
ми уравнениями прямой в пространстве A
n
.
♦ Уравнения (15.6) имеют смысл и в том случае, если некоторые из знамена-
телей обраща ют ся в нуль. Тогда следует приравнять нулю и соответствующий
числитель.
Пример 15.1. Записать канонические уравнения прямой, проходящей через
две заданные точки: N(x
(0)
1
, x
(0)
2
, . . . , x
(0)
n
), N
1
(x
(1)
1
, x
(1)
2
, . . . , x
(1)
n
).
Решение. В этом случае базис направляющего пространства
Рис. 5.
L
1
состоит из одного вектора
−−→
NN
1
= (x
(1)
1
− x
(0)
1
, x
(1)
2
− x
(0)
2
, . . . ,
x
(1)
n
− x
(0)
n
), в результате чего система (15.6) примет вид
x
1
− x
(0)
1
x
(1)
1
− x
(0)
1
=
x
2
− x
(0)
2
x
(1)
2
− x
(0)
2
= . . . =
x
n
− x
(0)
n
x
(1)
n
− x
(0)
n
= t. (15.7)
Уравнение (15.7) называется уравнением прямой, проходящей через две
заданные точки.

Страницы