ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
132 Глава 4. Аффинные пространства
Пример 15.2. Записать параметрические уравнения плоскости, проходящей
через точку N(1, 2, 1, 4) ∈ A
4
в направлении подпространства, которым яв ляет-
ся линейная оболочка порождающей системы векторов
~e
1
=
1
0
0
1
, ~e
2
=
2
1
1
0
, ~e
3
=
1
1
1
1
, ~e
4
=
1
2
3
4
, ~e
5
=
0
1
2
3
. (15.8)
Решение. Как было показано в примере 13.2, порождающая система векторов
(15.8) определяет линейное подпространство L
3
, базисом кот орого можно вы-
брать, например, векторы ~e
1
, ~e
3
, ~e
5
. Воспользовавшись формулой (15.1), можно
записать уравнение искомой плоскости в векторной форме
−−→
OM =
−−→
ON + ~e
1
t
1
+ ~e
3
t
2
+ ~e
5
t
3
, (15.9)
где
−−→
ON — радиус-вектор, координаты которого совпадают с координатами точ-
ки N.
Координатная запись векторного уравнения (15.9) с учетом (15.8) имеет вид
x
1
= 1 + t
1
+ t
2
,
x
2
= 2 + t
2
+ t
3
,
x
3
= 1 + t
2
+ 2t
3
,
x
4
= 4 − t
1
+ t
2
+ 3t
3
(15.10)
и является системой параметрических уравнений плоскости типа (15.3). Та-
ким образом, искомая плоскость представляет собой трехмерное аффинное про-
странство A
3
⊂ A
4
.
♦ Рассмотренные ранее неоднородные (10.1) и однородные (10.3) системы
линейных уравнений до пускают геометрическую интерпретацию в терминах
плоскостей и прямых в аффинном пространстве.
Запишем неоднородную
AX = B (15.11)
и однородную
AX = 0 (15.12)
системы линейных уравнений, где
A =
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . .
a
m
1
. . . a
m
n
!
, rang A = s, X =
x
1
. . .
x
n
!
, B =
b
1
. . .
b
m
!
. (15.13)
Теорема 15.2. Все решени я системы (15.11) образуют в аффинном простран-
стве A
n
плоскость π
r
размерности r = n − s, где s = rang A. Справедливо и
обратное утверждение.
Доказательство. Напомним, что решения системы (15.11) определяются фор-
мулами ( 10.6), которые можно рассматривать как параметрические уравнения
(15.3) плоскости π
r
. Действительно, частным решением неоднородной системы
e
X в (10.6) задается координатный столбец точки, через которую проходит плос-
кость π
r
. При этом линейное оболочка фундаментальной системы решений L
r
,
r = n −s, является направляющим подпространством плоскости. Наконец, про-
извольные постоянные C
i
, i = 1, r, пробегая всевозможные значения независимо
друг от друга, играют роль параметров t
i
из (15.3).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- …
- следующая ›
- последняя »
