Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

130 Глава 4. Аффинные пространства
Доказательство. Пусть π
r
— плоскость пространства A
n
, проходящая через
точку N параллельно подпространству L
r
⊂ L
n
. Выберем в этой плоскости
(рис. 3) две произвольные точки M
1
и M
2
. По определе-
нию а ффинного пространства A
n
им соответствует век-
тор
−−−−→
M
1
M
2
, принадлежащий L
n
. С другой стороны, по
определению плоскости π
r
, векторы
−−−→
NM
1
и
−−−→
NM
2
при-
надлежат подпространству L
r
. Но тогда, согласно (14 .1 ),
вектор
−−−−→
M
1
M
2
=
−−−→
NM
2
−
−−−→
NM
1
также принадлежит L
r
.
Таким образом, каждому вектору
−−−−→
M
1
M
2
из L
r
постав-
Рис. 3.
лена в соответствие упорядоченная пара точек M
1
и M
2
.
Это и означает, что на пространстве L
r
определено а ф-
финное пространство A
r
.
Следствие 15.1.1. Если плоскость π
r
проходит через начальную точку O (N
совпадает с O) параллельно подпространству L
r
, то множество радиус-векторов
е¨е точек образует линейное пространство, совпадающее с L
r
.
Следствие 15.1.2. Если то чкам N, M
1
, M
2
, . . . , M
r
∈ A
n
соответствует линей-
но независимая система векторов
−−−→
NM
1
,
−−−→
NM
2
, . . . ,
−−−→
NM
r
, то через эти точки
проходит r-мерная плоскость π
r
и притом только одна.
Рассмотрим теперь, каким образом о пре-
Рис. 4.
деляются координаты (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) текущей
точки M заданной плоскости π
r
из аффинного
пространства A
n
с репером (O, ~e
1
, ~e
2
, . . . , ~e
n
).
Пусть π
r
— плоскость, проходящая через
точку N параллельно подпространству L
n
. Бу-
дем считать, что точка N задается координа-
тами (x
(0)
1
, x
(0)
2
, . . . , x
(0)
n
), а направляющее под-
пространство L
r
— линейная оболочка линей-
но независимой системы векторов
~
f
1
,
~
f
2
, . . . ,
~
f
r
.
Тогда радиус-вектор
−−→
OM текущей т очки плос-
кости (рис. 4) можно записать в в иде
−−→
OM =
−−→
ON +
−−→
NM =
−−→
ON + t
1
~
f
1
+ t
2
~
f
2
+ . . . + t
r
~
f
r
, (15.1)
где t
i
∈ R, i = 1, r, — некото рые параметры.
Поскольку вектор
−−→
ON и векторы
~
f
i
, i = 1, r, можно разложить по базису
(~e
1
, ~e
2
, . . . , ~e
n
) как
−−→
ON = x
(0)
1
~e
1
+ x
(0)
2
~e
2
+ . . . + x
(0)
n
~e
n
,
~
f
i
= f
i1
~e
1
+ f
i2
~e
2
+ . . . + f
in
~e
n
, i = 1, r,
(15.2)
то из векторного равенства (15.1) получим n покоординатных равенств
x
1
= x
(0)
1
+ f
11
t
1
+ f
21
t
2
+ . . . + f
r1
t
r
,
x
2
= x
(0)
2
+ f
12
t
1
+ f
22
t
2
+ . . . + f
r2
t
r
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
n
= x
(0)
n
+ f
1n
t
1
+ f
2n
t
2
+ . . . + f
rn
t
r
.
(15.3)

Страницы