Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128 Глава 4. Аффинные пространства
Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между
всеми радиус-векторами
−−→
OM и точками M а ф финного пространства.
Базис {~e
i
}
n
i=1
, линейного пространства дополним точкой O. Такое дополне-
ние приводит нас к новому понятию, характеризующему аффинное простран-
ство и называемому репером.
Репером аффинного пространства называется совокупность базисных век-
торов его линейного пространства L
n
и начальной точки O: {O, ~e
1
, ~e
2
, . . . , ~e
n
}.
Пусть теперь M — произвольная точка из A
n
, определяемая радиус-вектором
−−→
OM. Сам радиус-вектор как элемент векторного пространства L
n
разлагается,
согласно (14.7):
−−→
OM = x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
+ . . . + x
n
~e
n
. (14.8)
Коэффициенты x
i
, i = 1, n, разложения (14.8) радиус-вектора, определя-
ющего точку M, называются координатами (или аффинными координатами)
этой точки относительно выбранного репера афф инного пространства A
n
.
Другими словами, если в аффинном пространстве A
n
выбран некий репер,
то каждой т очке M ∈ A
n
будет однозначно сопоставлен столбец из n чисел —
е¨е координат, называемый координатным столбцом точки M: (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
⊺
.
Все координаты точки O равны нулю, так как ей соответствует нулевой вектор
−→
OO. Очевидно, что в выбранном репере любая точка однозначно определяется
столбцом е¨е координат.
Если M и N — две точки аффинного пространства с координатами
M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), N(y
1
, y
1
, . . . , y
n
), то в силу равенства (14.1)
−−→
OM +
−−→
MN =
−−→
ON
или
−−→
MN =
−−→
ON −
−−→
OM, т.е. координаты вектора
−−→
MN равны разности координат
его конца и начала:
−−→
MN(y
1
− x
1
, y
2
− x
2
, . . . , y
n
− x
n
). Соответственно, коорди-
натный столбец вектора
−−→
MN равен разности координатных столбцов точек N
и M.
Рассмотрим теперь, как преобразуются координаты точки аффинного про-
странства A
n
при переходе от одного репера к другому.
Пусть нача льна я точка зафиксирована, а в линейном пространстве L
n
, со-
ответствующем A
n
, выбирается нов ый базис. Старый базис {~e
j
}
n
j=1
и новый
{~e
′
j
}
n
j=1
связаны соотношением (12.26), где P — матрица перехода (12.25). Так
как ко ординаты точки M — это, по определению, координаты вектора
−−→
OM,
то новые координаты x
′
i
, i = 1, n, будут выражаться через старые x
i
, i = 1, n,
согласно (12.30).
Рассмотрим теперь преобразование, не о пределенное ранее для линейного
пространства: пусть начальная точка O заменяется новой начальной точкой O
′
,
координаты которой в старом репере равны (α
1
, α
2
, . . . , α
n
). Для любой точки
M из A
n
, согласно (14.6), имеем
−−→
OO
′
+
−−→
O
′
M =
−−→
OM. (14.9)
Координаты (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) вектора
−−→
OM — это координаты точки M в старом
репере. Координаты (x
′
1
, x
′
2
, . . . , x
′
n
) вектора
−−→
O
′
M — это координаты точки M в
новом репере. Из равенства (14 .9) получим
−−→
O
′
M =
−−→
OM −
−−→
OO
′
или в ко ординатах
x
′
1
x
′
2
. . .
x
′
n
=
x
1
x
2
. . .
x
n
−
α
1
α
2
. . .
α
n
=
x
1
− α
1
x
2
− α
2
. . .
x
n
− α
n
. (14.10)

Страницы