Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14. Аффинные пространства 127
Доказательство. Согласно (14.1), для трех точек M, M
′
и N
′
справедливо равенство
−−−→
MM
′
+
−−−→
M
′
N
′
=
−−−→
MN
′
. (14.4)
В свою очередь, для трех точек M и N, N
′
, согласно той
Рис. 2.
же формуле, можно записать
−−→
MN +
−−→
NN
′
=
−−−→
MN
′
. (14.5)
Сравнив (14.4) с ( 14.5), можно заключить, что из условия (14.3) следует (14.2)
и наоборот (см. рис. 2) .
Теорема 14.2. Каждой точке (паре совпадающих т очек) из A соответству-
ет нулевой вектор из L.
Доказательство. Пусть M — произвольная точка в A. Положив в (14.1) N =
M, получим
−−→
MM +
−−→
MP =
−−→
MP . (14.6)
Обозначив векторы
−−→
MM и
−−→
MP как векторы ~x и ~y из L, можем, согласно (14.6),
записать ~x + ~y = ~y, откуда в соот ветствии с аксиомами линейного пространства
следует, что
−−→
MM = ~x = 0.
Следствие 14.2.1. Вектор
−−→
NM является противоположным вектору
−−→
MN.
Действительно, согласно теореме 14.2,
−−→
MN +
−−→
NM = 0. Это означает, что
−−→
NM =
−
−−→
MN.
Аффинное пространство называется действительным (комплексным), ес-
ли соответствующее линейное пространство L яв ляется действительным (ком-
плексным).
Аффинное пространство называется конечномерным (бесконечномерным),
если соответствующее линейное пространство L яв ляется конечномерным (бес-
конечномерным).
Аффинное пространство будем называть n-мерным и обозначать через
A
n
, если соответствующее линейное пространство L
n
является n-мерным.
Если {~e
i
}
n
i=1
— базис линейного пространства L
n
, то любо й вектор линейного
пространства характеризуется своими координатами в этом базисе:
~x = x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
+ . . . + x
n
~e
n
. (14.7)
Введ¨ем аналогичную характеристику и для таких объектов афф инного про-
странства, как точки.
Пусть O — некоторая точка афф инного пространства A
n
. Тогда, соглас-
но определению, конец вектора ~x, принадлежащего L
n
и исходящего из точки
O, определит единственную точку M. Если точку O зафиксироват ь, назвав е¨е
начальной, то все точки афф инного пространства можно получить как множе-
ство концов всех векторов, образующих L
n
и исходящих из начальной точки O.
Это позволяет наряду со свободными векторами рассматривать так называемые
радиус-векторы.
Радиус-вектором точки M относительно начальной точки O называется
вектор
−−→
OM = ~x ∈ L
n
с фиксированным началом в точке O .

Страницы