Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13. Подпространства 125
Пример 13.6. Для двух нетривиальных подпространств из пространства L
4
рассмотреть возможные значения размерности их пересечений и объединений.
Решение. Наибольший интерес представляют подпространства размерности не
менее двух.
I. Пусть L
′
= L
2
, L
′′
= L
2
. Если подпространства совпадают, т.е. L
′
= L
′′
, то
их сумма и пересечение тоже двумерны в полном соответствии с (13.16): 2+2 =
2 + 2. Если же подпространства не совпадают, то они могут пересекаться либо
по нулевому подпространству: 2 + 2 = 4 + 0, либо по одномерному: 2 + 2 = 3 + 1.
II. П усть L
′
= L
3
, L
′′
= L
3
. В отличие от предыдущего случая, эти подпро-
странства либо совпадают и тогда 3 + 3 = 3 + 3, либо пересекаются только по
двумерному пространству, поскольку 3 + 3 = 4 + 2 (dim[L
′
+ L
′′
] не превышает
четырех).
III. П усть L
′
= L
2
, L
′′
= L
3
. В этом случае эти подпространства либо пере-
секаются по одномерному пространству: 2 + 3 = 4 + 1, либо L
′
содержится в L
′′
:
2 + 3 = 3 + 2.
Понятия суммы двух подпространств и их пересечения достаточно просто
обобщаются на любое число подпространств. При этом сумма нескольких под-
пространств переходит в прямую их сумму, если каждое из них имеет нулевое
пересечение с суммой остальных. В силу этого, если ~e
i
, i = 1, n, — базис линей-
ного пространства L
n
, а L
i
, i = 1, n, — линейная одномерная оболочка базисного
вектора ~e
i
, то пространство L
n
является прямой суммой одномерных подпро-
странств L
i
, т.е.
L
n
= L
1
⊕ L
2
⊕ . . . ⊕ L
n
=
n
X
i=1
L
i
=
n
M
i=1
L
i
. (13.23)
Другими словами, любое линейное пространство можно рассматривать как пря-
мую сумму линейных подпространств, натянутых на соответствующий вектор
его базиса.
♦ Такой подход позволяет взглянуть с другой стороны на введенное ранее
требование линейной независимости векторов базиса, связи размерности про-
странства с числом векторов базиса, а также операции сложения векторов как
суммы только одноименных координат и т.д.

Страницы