ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
124 Глава 3. Линейные пространства
Отсюда следует, что ранг этой мат рицы равен трем, причем в екторы базиса
(13.22) представляют собой линейную комбинацию векторов базиса (13.8). Та-
ким образом, пространство L
2
является подпространством не только L
5
, но и L
3
.
В силу этого базисом суммы подпространств L
2
+ L
3
является базис простран-
ства L
3
, т.е. (13.8), а базисом их пересечения L
2
∩ L
3
— базис подпространства
L
2
, т.е. (13.22).
Размерность подпространства L
2
∩L
3
можно было найти также из формулы
(13.16). По скольку dim L
2
= 2, dim L
3
= 3, dim(L
2
+ L
3
) = 3, то dim(L
2
∩ L
3
) =
2+3−3 = 2. Кроме того, базис подпространства L
2
∩L
3
можно найти из общего
решения объединенной системы (13.20) и (13.21) с матрицей
1 1 −2 −1 1
3 −1 1 4 3
1 5 −9 −8 1
2 6 −10 −9 3
3 −1 1 4 3
1 5 −8 −8 2
.
После известных уже элементарных преобразований ее можно записать в виде
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 3/4 5/4
0 1 0 −7/4 7/4
0 0 1 0 1
,
который соответствует системе уравнений
x
1
+
3
4
x
4
+
5
4
x
5
= 0,
x
2
−
7
4
x
4
+
7
4
x
5
= 0,
x
3
+ x
5
= 0
с общим решением
~x =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−
3
4
x
4
−
5
4
x
5
7
4
x
4
−
7
4
x
5
−x
5
x
4
x
5
.
Отсюда следует, что объединенная система однородных уравнений (13.20) и
(13.21) имеет ф ундаментальную систему решений
~e
4
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
5
=
−5/4
−7/4
−1
0
1
,
котора я и является базисом не только в L
2
(13.22), но и в L
2
∩ L
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- …
- следующая ›
- последняя »
