ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
122 Глава 3. Линейные пространства
Теперь рассмотрим линейную комбинацию из векторов — решений системы
(13.17), — равную нулю:
l
X
i=1
α
i
~e
i
+
k
X
i=l+1
β
i
~
f
i
+
m
X
i=l+1
γ
i
~g
i
= 0. (13.18)
Вектор ~x =
k
P
i=l+1
β
i
~
f
i
принадлежит пространству L
′
k
. С другой стороны, согласно
(13.18),
~x = −
l
X
i=1
α
i
~e
i
−
m
X
i=l+1
γ
i
~g
i
принадлежит также и L
′′
m
. Отсюда следует, что ~x принадлежит сразу L
′
k
и L
′′
m
,
т.е. их пересечению L
′
k
∩L
′′
m
, и, стало быть, β
l+1
= . . . = β
k
= γ
l+1
= . . . = γ
m
= 0.
В силу этого линейная комбинация (13.18) примет вид
l
X
i=1
α
i
~e
i
= 0,
если L
′
k
∩L
′′
m
не является нулевым пространством. Но совокупность векторов ~e
i
,
i = 1, l, линейно независима, поскольку является базисом в L
′
k
∩ L
′′
m
, а значит,
α
1
= α
2
= . . . = α
l
= 0.
Таким образом, линейная комбинация (13.18) является тривиальной, а соот-
ветствующая система в екторов (13.17) — линейно независимой, что и требова-
лось доказать.
Мы доказали, что система векторов (13.17) об ра зует базис в пространстве
(L
′
k
+L
′′
m
). Следовательно, число векторов, равное l +(k −l)+(m−l) = k +m−l,
определяет его размерность: dim(L
′
k
+ L
′′
m
) = k + m − l. Отсюда с учетом того,
что k = dim L
′
k
, m = dim L
′′
m
, l = dim(L
′
k ∩ L
′′
m
), приходим к равенству
dim(L
′
+ L
′′
) = dim L
′
+ dim L
′′
− dim(L
′
∩ L
′′
)
и соответственно к (13.16).
Из формулы (13.16) непосредственно вытекают очевидные следствия.
Следствие 1. Два подпространства, сумма размерностей которых превосхо-
дит n — размерность всего пространства, обязательно имеют ненулевое пересе-
чение.
Следствие 2. Размерность прямой суммы двух подпространств равна сумме
их размерностей:
dim(L
′
⊕ L
′′
) = dim L
′
+ dim L
′′
. (13.19)
Следствие 3. Каждый вектор ~x из прямой суммы L
′
⊕L
′′
разлагается в сумму
векторов ~x
′
из L
′
и ~x
′′
из L
′′
единственным о бразом, т.е. ~x = ~x
′
+ ~x
′′
.
Пример 13.5. Определить размерности подпространств L
′
и L
′′
пространства
L
5
, определяемых системами
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
L
′
: 3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0, (13.20)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- …
- следующая ›
- последняя »
