Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13. Подпространства 121
Тогда многообразие (13.15) можно записать в виде
~x =
5/4
−1/4
0
0
0
+ x
3
1/4
−7/4
1
0
0
+ x
4
−3/4
7/4
0
1
0
+ x
5
−1
0
0
0
1
.
Рассмотрим теперь два линейных подпространства L
′
и L
′′
из линейного
пространства L.
Суммой подпространств L
′
и L
′′
называется линейная оболочка их объ-
единения L
′
∪ L
′′
.
Если
~
E
′
— базис подпространства L
′
, а
~
E
′′
— базис подпространства L
′′
, то их
объединение можно ра ссматриват ь как порождающую систему линейной обо-
лочки, представляющей собой сумму подпространств L
′
+L
′′
. Из порождающей
системы, не меняя ее линейной оболочки (свойство 2), можно удалить векторы,
являющиеся линейными комбинациями остальных. Максимальное число линей-
но независимых векторов из
~
E
′
и
~
E
′′
образует базис суммы подпространств L
′
и L
′′
и определяет ее размерность как подпространства пространства L. Оче-
видно, что эта размерность не превосходит размерности самого пространства
L.
Пересечением подпространств L
′
∩ L
′′
называется множество векторов,
принадлежащих одновременно о боим подпространствам.
Выше мы о тмечали, что подпространства L
′
и L
′′
определяются решения-
ми однородных систем уравнений. Тогда пересечение L
′
∩ L
′′
будет задаваться
объединением этих систем, а фундаментальная система решений такой объеди-
ненной системы будет определять базис пересечения L
′
∩ L
′′
как некоторого
подпространства.
Сумма подпространств L
′
и L
′′
, для которых их пересечение L
′
∩L
′′
являет-
ся нулевым пространством, называется прямой суммой и обозначается L
′
⊕L
′′
(или L
′
+ L
′′
).
Связь между размерностями пространств L
′
, L
′′
, а также размерностями их
суммы и пересечения определяется следующей теоремой.
Теорема 13.2. Сумма размерностей двух подпространств складывается из
размерности их пересечения и размерности суммы этих подпространств, т.е.
dim L
′
+ dim L
′′
= dim(L
′
∩ L
′′
) + dim(L
′
+ L
′′
). (13.16)
Доказательство. Пусть L
′
k
и L
′′
m
— два подпространства размерности k и m
соответственно в пространстве L
n
. В подпространстве L
′
k
∩ L
′′
m
выберем какой-
нибудь базис ~e
1
, ~e
2
, . . . , ~e
l
. Дополним его векторами
~
f
l+1
,
~
f
l+2
, . . . ,
~
f
k
до базиса в
L
′
k
и векторами ~g
l+1
,~g
l+2
, . . . , ~g
m
до базиса в L
′′
m
. Покажем, что система векторов
~e
1
, . . . , ~e
l
,
~
f
l+1
, . . . ,
~
f
k
,~g
l+1
, . . . ,~g
m
(13.17)
образует базис в подпространстве L
′
k
+L
′′
m
. Для этого убедимся, что, во-первых,
каждый вектор ~x ∈ (L
′
k
+ L
′′
m
) является линейной комбинацией векторов (13.17)
и, во-вторых, система (13.17 ) линейно независима.
Справедливость первого утверждения вытекает из того, что ~x ∈ (L
′
k
+ L
′′
m
)
предста вляет собой сумму ~x = ~x
′
+ ~x
′′
, в которой вектор ~x
′
разлагается по
векторам ~e
1
, . . . , ~e
l
,
~
f
l+1
, . . . ,
~
f
k
, а вектор ~x
′′
— по векторам ~e
1
, . . . , ~e
l
, ~g
l+1
, . . . , ~g
m
.
Значит, сам вектор ~x разлагается по системе векторов (13 .1 7), т.е. представляет
их линейную комбинацию.

Страницы