Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13. Подпространства 119
базис
~e
′
1
=
1
0
0
0
0
, ~e
′
2
=
0
1
0
0
0
, ~e
′
3
=
0
0
1
0
0
, ~e
′
4
=
0
0
0
1
0
, ~e
′
5
=
0
0
0
0
1
. (13.11)
Базис (13.11) — его еще называют каноническим — связан с базисом (13.10)
матрицей перехода
P =
1 0 −1/4 3/4 1
0 1 −7/4 −7/4 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
.
Тогда, согласно (12.29 ) , координатный столбец X в базисе (13.10) и координат-
ный столбец X
′
в базисе (13.11) связаны соотнош ениями
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
= P
b
X
′
=
1 0 −1/4 3/4 1
0 1 −7/4 −7/4 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
x
′
1
x
′
2
x
′
3
x
′
4
x
′
5
=
x
′
−
1
4
x
′
3
+
3
4
x
′
4
+ x
′
5
x
′
2
−
7
4
x
′
3
−
7
4
x
′
4
x
′
3
x
′
4
x
′
5
.
Из условий x
1
= 0 и x
2
= 0 найдем
x
′
1
−
1
4
x
′
3
+
3
4
x
′
4
+ x
′
5
= 0,
x
′
2
−
7
4
x
′
3
−
7
4
x
′
4
= 0,
и, как было показано выше, эта система будет определять трехмерное подпро-
странство в пространстве L
5
.
Отметим, что результаты приведенных выше примеров остаются справедли-
выми и при более общих предположениях. Так, например, все полиномы степени
не выше k образуют подпространство L
k
в пространстве L
n
полиномов степени
n > k. С другой стороны, каждое подпространство L
n
содержится в качестве
подпространства в пространстве L всех полиномов с в ещ ественными коэффи-
циентами, которое, в свою очередь, является подпространством пространства
всех непрерывных функций и т.д.
Результаты примера 1 3.3 допускают следующее обоб щение. Если L
k
— под-
пространство пространства L
n
, то в соответствующем базисе L
n
векторы из
пространства (и только они) будут иметь координаты x
k+1
, x
k+2
, . . . , x
n
, рав-
ные нулю, т.е.
x
k+1
= x
k+2
= . . . = x
n
= 0. (13.12)
Равенства (13.12) можно рассматривать как систему линейных уравнений, свя-
зывающую координаты вектора ~x. Эта система имеет ранг n−k, и множество ее
решений составляет пространство L
k
, причем в любом ба зисе L
n
подпростран-
ство L
k
будет определяться однородной системой уравнений ранга n − k. При
n = k, т.е. когда L
k
совпадает с L
n
, эта система имеет ранг 0, и, следовательно,
она не содержит ни одного нетривиального решения.

Страницы