ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13. Подпространства 117
Пример 13.2. Найти размерность и какой-либо базис линейной оболочки си-
стемы векторов
~x
1
=
1
0
0
−1
, ~x
2
=
2
1
1
0
, ~x
3
=
1
1
1
1
, ~x
4
=
1
2
3
4
, ~x
5
=
0
1
2
3
. (13.4)
Решение. Из столбцов (13.4) составим матрицу
A =
1 2 1 1 0
0 1 1 2 1
0 1 1 3 2
−1 0 1 4 3
и найдем ее ранг. Для этого выполним указанные элементарные преобразования
A =
1 2 1 1 0
0 1 1 2 1
0 1 1 3 2
−1 0 1 4 3
R
2
−R
3
∼
R
4
−R
3
1 1 1 0 0
0 0 1 1 1
0 0 1 2 2
−1 −1 1 3 3
R
2
−R
1
∼
R
4
−R
5
1 0 1 0 0
0 0 1 0 1
0 0 1 0 2
−1 0 1 0 3
.
(13.5)
Отсюда следует, что все миноры 4-го порядка матрицы A равны нулю и суще-
ствует минор 3-го порядка, например
M
3
=
1 1 0
0 1 1
0 1 2
= 1 6= 0,
который отличен от нуля. Это означает, что rang A = 3. И з (13.5) видно, что
векторы ~x
2
и ~x
4
являются линейными комбинациями векторов ~x
1
, ~x
3
, ~x
5
. Таким
образом, линейная оболо чка векторов (13.4) имеет размерность, равную трем,
а в качестве ее базиса можно выбрать векторы ~e
1
= ~x
1
, ~e
2
= ~x
3
, ~e
3
= ~x
5
.
Пример 13.3. Показать, что линейное пространство решений однородной си-
стемы
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0, (13.6)
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0
представляет собой линейную оболочку, для которой порождающей системой
P является фундаментальная система решений, и что эта линейная оболочка
есть подпространство векторного пространства размерности, равной пяти.
Решение. Из результатов примера 9.3 следует, что третье уравнение это й си-
стемы является линейной комбинацией первых двух, причем система (13.6) эк-
вивалентна системе двух уравнений
x
1
= −
1
4
x
3
−
3
4
x
4
− x
5
,
x
2
=
7
4
x
3
+
7
4
x
4
.
(13.7)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
