Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13. Подпространства 115
13. Подпространства
Непустое множество M векторов линейного пространства L называется
подпространством, если
I. для любых ~x, ~y ∈ M ~x + ~y ∈ M;
II. для любого ~x ∈ M и любого α ∈ K α~x ∈ M.
Подпространство M обладает следующими свойствами: всякое подпростран-
ство линейного пространства есть линейное пространство; размерность подпро-
странства не превосходит размерности исходного пространства.
Действительно, согласно условию II, множество M содержит нулевой век-
тор, поскольку если α~x ∈ M для всех α, то M содержит и
~
0 = 0 · ~x. Вместе
с тем, множество M наряду с вектором ~x содержит и противоположный ему
вектор (−1)~x = −~x. Теперь, уже в силу свойства I, к M принадлежит и раз-
ность любых двух векторов из M. Очевидно, что остальные аксиомы линейного
пространства будут выполняться в M, поскольку они выполнялись в L.
Утверждение о размерности подпространства M вытекает из того, что ли-
нейно независимые векторы, принадлежащие M, будут линейно независимыми
и во всем пространстве L, а, значит, максимальное число линейно независимых
векторов подпространства M не может превосходить максимального числа ли-
нейно независимых векторов всего пространства. Это и означает, что размер-
ность M не превосходит размерности L. Впрочем, это утверждение вытекает
из теоремы 1 3.1.
Заметим, что множество, состоящее из одного нулевого вектора, о бладает
свойствами I, II и, следовательно, является линейным подпространством в L,
которое называется еще нулевым подпространством. С другой стороны, само
пространство L можно также рассматривать как свое собственное линейное
подпространство.
Нулевое подпространство и само пространство L называются тривиаль-
ными подпространствами пространства L. Все остальные называются нетри-
виальными или истинными.
Теорема 13.1. Пусть ~e
1
, . . . , ~e
k
— базис подпространства M ⊂ L, причем
k < n. Тогда можно дополнительно выбрать векторы ~e
k+1
, . . . , ~e
n
так, чтобы
система векторов
~e
1
, . . . , ~e
k
, ~e
k+1
, . . . , ~e
n
была базисом пространства L.
Доказательство вытекает из теоремы 12.5.
Важным способом построения подпространств яв ляется задание линейной
оболочки системы векторов.
Линейной обо лочкой M, заданной конечной совокупностью P векторов
~x
j
∈ P, P ⊂ L, j = 1, k, называется множество всех линейных комбинаций этих
векторов, т.е.
~y =
k
X
j=1
C
j
~x
j
. (13.1)
Совокупность векторов P называется порождающей системой данной ли-
нейной оболочки M.
Свойства линейной оболочки:
1) линейная оболочка M элементов линейного пространства L является под-
пространством линейного пространства L;
2) если какой-либо вектор порождающей системы P есть линейная комби-
нация остальных векторов, то его можно удалить из порождающей системы, не
изменив линейной оболочки M.

Страницы