ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Линейные пространства 113
или
X = P X
′
. (12.29)
Поскольку матрица P является невырожденной, то для нее существует об-
ратная матрица P
−1
. Умножив уравнение (12 .29) на P
−1
слева, получим иско-
мую связь:
X
′
= P
−1
X. (12.30)
Обратим внимание на то, что при переходе от старого базиса к новому с
помощью матрицы перехода P по закону (12.26) столбец координат некоторого
фиксированного вектора ~x преобразуется при этом с помощью обратной мат-
рицы P
−1
согласно (12 .3 0). Эти преобразования имеют, как говорят, контрава-
риантный (от лат. «противопреобразующий») характер.
Забегая несколько вперед и предваряя понятие тензора, отметим, что чис-
ла x
j
(индекс именно вверху), j = 1, n, представляют собой координаты так
называемого контравариантного тензора первого ранга (одновалентного), если
при преобразовании базиса по закону (12.26) имеет место закон преобразования
(12.30).
Таким образом, примером одновалентного контравариантного тензора явля-
ются координаты x
j
фиксированного (неизменного, инвариантного) вектора ~x.
Поскольку вектор ~x фиксирован, координаты x
j
имеют определенные числен-
ные значения в каждом базисе и преобразуются по закону (12 .30).
Пример 12.5. Записать преобразование координат инвариантного вектора ~x
при преобразовании базиса (12.19) из предыдущего примера.
Решение. Запишем преобразование (12.19) в матричной форме:
(~e
′
1
~e
′
2
. . . ~e
′
n
) = (~e
1
~e
2
. . . ~e
n
)
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
.
Отсюда следует, что матрица перехода P имеет вид
P =
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
.
Обратная к ней матрица была найдена в примере 5.2 и имеет вид
P
−1
=
1 −1 0 0 . . . 0
0 1 −1 0 . . . 0
0 0 1 −1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 1
.
Тогда, согласно (12.30), координаты вектора ~x в ново м б азисе определяется как
X
′
=
(x
′
)
1
(x
′
)
2
.
.
.
(x
′
)
n−1
(x
′
)
n
= P
−1
x
1
x
2
.
.
.
x
n−1
x
n
=
1 −1 0 0 . . . 0 0
0 1 −1 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 1 −1
0 0 0 0 . . . 0 1
x
1
x
2
.
.
.
x
n−1
x
n
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
