Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

112 Глава 3. Линейные пространства
В заключение этого раздела рассмотрим обобщение задачи из примера 12.4
о замене одного базиса линейного пространства L
4
другим.
Пусть
~
E = (~e
1
~e
2
. . . ~e
n
),
~
E
′
= (~e
′
1
~e
′
2
. . . ~e
′
n
) (12.23)
— два базиса в L
n
. Первый из них будем называть старым базисом, а второй —
новым.
Каждый вектор нового базиса может быть, согласно определению, разложен
по векторам старого как
~e
′
j
= p
1
j
~e
1
+ p
2
j
~e
2
+ . . . + p
n
j
~e
n
=
n
X
k=1
p
k
j
~e
k
, j = 1, n, (12.24)
где p
k
j
— некоторые числа, представляющие собой координаты вектора ~e
′
j
нового
базиса в старом. Изменив индекс j от 1 до n, получим n столбцов из коэффи-
циентов p
k
j
, которые можно объединить в квадратную ма трицу порядка n:
P = kp
k
j
k, k, j = 1, n. (12.25)
С ее помощью систему (1 2.24) можно записать в векторной форме
(~e
′
1
~e
′
2
. . . ~e
′
n
) = (~e
1
~e
2
. . . ~e
n
)P
или коротко
~
E
′
=
~
EP. (12.26)
Поскольку столбцы матрицы P представляют собой координатные столбцы
новых базисных векторов в старом базисе, то они, очевидно, являются линейно
независимыми. Отсюда следует, что
det P 6= 0. (12.27)
Матрицу P (12.25) называют матрицей перехода от старого базиса {~e
j
}
n
j=1
к новому базису {~e
′
j
}
n
j=1
.
♦ Из условия (12.27) следует, что любая невырожденная матрица соответ-
ствующего размера может быть матрицей перехода от одного базиса к другому.
Найдем теперь, как связаны между собой координаты одного и того же век-
тора ~x в старом и новом базисе. Пусть вектор ~x в старом базисе имеет столбец
координат
X =
x
1
,
.
.
.
x
n
,
а в но вом
X
′
=
(x
′
)
1
.
.
.
(x
′
)
n
,
т.е.
~x =
~
EX =
~
E
′
X
′
. (12.28)
Подставив сюда (12.26), получим
~
EX =
~
EP X
′

Страницы