ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
110 Глава 3. Линейные пространства
обозначив
~
E = (~e
1
~e
2
. . . ~e
n
) (12.16)
строкой и представив координаты вектора в это м базисе столб цом
X =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
. (12.17)
Элементы этого столбца в базисе (12.16) определяются однозначно. Действи-
тельно, пусть вектор ~x имеет два разложения ~x =
n
P
j=1
~e
j
x
j
=
n
P
j=1
~e
j
˜x
j
. Тогда
n
P
j=1
~e
j
(x
j
−˜x
j
) = 0, а поскольку ~e
j
— линейно независимая система, то x
j
−˜x
j
= 0
или x
j
= ˜x
j
для всех j, что означает тождественность исходных разложений.
Сам базис (12.16) в линейном пространстве можно выбрать неограниченным
количеством способов. Рассмотрим пример.
Пример 12.4. Пусть
~
E = (~e
1
~e
2
. . . ~e
n
) — базис некоторого линейного простран-
ства L
n
. Перейти от этого базиса к новому и найти связь координат вектора
~x ∈ L
n
в старом и ново м базисах.
Реш ение. По условию задачи имеем разложение произвольного вектора ~x ∈ L
n
в базисе {~e
j
}
n
j=1
с координатами {x
j
}
n
j=1
:
~x =
n
X
j=1
~e
j
x
j
. (12.18)
Поскольку в определение базиса входит требование упорядоченности, то наи-
более простым способом получения нового базиса является перенумерация ли-
нейно независимых векторов ~e
j
. При этом новые координаты получаются ана-
логичной перенумерацией старых координат.
Другим способом построения нового базиса
~
E
′
= (~e
′
1
~e
′
2
. . . ~e
′
n
) является со-
ставление новых линейно независимых комбинаций из векторов исходного ба-
зиса. Положим, например,
~e
′
1
= ~e
1
,
~e
′
2
= ~e
1
+ ~e
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . ,
~e
′
n
= ~e
1
+ ~e
2
+ . . . + ~e
n
.
(12.19)
Легко проверить, что система (12.19 ) определяет базис в L
n
. Действительно, эта
система предста вляет собой n линейно независимых векторов, и, кроме того,
для любого ~x ∈ L
n
всегда можно подобрать числа (x
′
)
j
так, что
~x =
n
X
j=1
~e
′
j
(x
′
)
j
. (12.20)
Числа (x
′
)
j
являются координатами вектора ~x в новом базисе (12.19). Для опре-
деления связи между координатами x
j
и (x
′
)
j
подставим (12.19) в (12.20):
~x = ~e
1
(x
′
)
1
+ (~e
1
+ ~e
2
)(x
′
)
2
+ . . . + (~e
1
+ ~e
2
+ . . . + ~e
n
)(x
′
)
n
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
