ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Линейные пространства 111
= ~e
1
[(x
′
)
1
+ (x
′
)
2
+ . . . + (x
′
)
n
] + ~e
2
[(x
′
)
2
+ (x
′
)
3
+ . . . + (x
′
)
n
] + . . .
. . . + ~e
n−1
[(x
′
)
n−1
+ (x
′
)
n
] + ~e
n
(x
′
)
n
=
n
X
j=1
~e
j
n
X
k=j
(x
′
)
k
. (12.21)
Сравнив (12.21) с (12.18), найдем искомую связь
x
j
=
n
X
k=j
(x
′
)
k
, j = 1, n. (12.22)
Вводя по аналогии с (12.19) любую другую линейно независимую систему
~
E
′
= (~e
′
1
~e
′
2
. . . ~e
′
n
), можно получать различные базисы в заданном линейном
пространстве L
n
. Более подробно вопрос о преобразовании базиса мы рассмот-
рим ниже, а сейчас сформулируем полезное в дальнейшем и вытекающее из
примера свойство.
Теорема 12.5. Любую у порядоченную линейно независимую си стему из k < n
векторов в n-мерном линейном пространстве можно дополнить до некото-
рого базиса этого пространства. В частности, до базиса можно дополнить
любой ненулевой вектор пространства L
n
.
♦ Наличие базиса позволяет линейные операции в пространстве L, заданные
абстрактно, свести к обычным операциям с числами — координатами векторов
относительно этого базиса.
Теорема 12.6. При сложении двух векторов пространства L их координаты
относительно любого базиса складываются. При умножении вектора на число
все его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Действительно, пусть существуют
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
, ~y =
n
X
j=1
y
j
~e
j
.
Тогда в силу аксиом I–VIII
~x + ~y =
n
X
j=1
(x
j
+ y
j
)~e
j
, λ~x =
n
X
j=1
λx
j
~e
j
,
что и требовалось доказать.
Следствие 12.6.1. Если два вектора ~x и ~y равны, то их координаты относи-
тельно любого базиса совпадают.
Доказательство. Если два вектора равны, то ~x − ~y = 0. Если при этом
~x = x
k
~e
k
, ~y = y
k
~e
k
,
то
~x −~y = (x
k
− y
k
)~e
k
= 0.
Следовательно, x
k
− y
k
= 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
