ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Линейные пространства 109
образуют линейное пространство ра змерности n с б азисом
~e
1
=
1
0
. . .
0
, ~e
2
=
0
1
. . .
0
, . . . , ~e
n
=
0
0
. . .
1
. (12.11)
В таком базисе вектор (12.10) состоит из своих координат
X =
x
1
x
2
. . .
x
n
= x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
+ . . . + x
n
~e
n
. (12.12)
Пример 12.3. Показать, что множество всех полиномов
P
n
(x) = p
0
+ p
1
x + p
2
x
2
+ . . . + p
n
x
n
(12.13)
с естественным образом введенными для них операциями сложения и умноже-
ния на число образуют линейное пространство. Рассмотреть случаи конечно-
мерного или бесконечномерного пространств.
Решение. Зададим произвольное число n и рассмотрим множество всех поли-
номов, степень которых не выше n. Легко пров ерить, что на любом конечном
промежутке x ∈]a, b[ а ксиомы линейного пространства для такого множества
выполняются. Роль нуля при этом играет полином, все коэффициенты которо-
го равны нулю. Таким обра зом, все полиномы (12.13) об разуют линейное про-
странство. Выделим в этом пространстве векторы
~e
1
= 1, ~e
2
= x, ~e
3
= x
2
, . . . , ~e
n+1
= x
n
. (12.14)
Линейная комбинация этих в екторов
α
1
~e
1
+ α
2
~e
2
+ . . . + α
n+1
~e
n+1
обращается в нуль только в случае равенства нулю всех коэффициентов α
j
,
j = 1, n + 1. Это означает, что система векторов (12.14) является линейно неза-
висимой и любо й другой многочлен степени не выше n является их линейной
комбинацией:
P
n
(x) = p
0
+ p
1
x + p
2
x
2
+ . . . + p
n
x
n
.
Стало быть, систему в екторов (12.14) можно выбрать в качестве базиса конеч-
номерного размерности (n + 1) линейного пространства полиномов (12.13) n-й
степени.
С ростом числа n размерность пространства возрастает, поэтому линейное
пространство полиномов произвольной степени будет, согласно определению,
бесконечномерным.
По аналогии с примером 12.3 можно говорить о бесконечномерном простран-
стве C функций, непрерывных на некотором отрезке [a, b], если сложение функ-
ций и их умножение на действительное число понимать так, как это принято в
теории функций, т.е. как сложение или умножение значений функций на число.
Иногда, как это было сделано в примерах, разложение вектора по базису
(12.5) будем записывать в мат ричной форме
~x =
n
X
j=1
~e
j
x
j
=
~
EX, (12.15)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
