Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12. Линейные пространства 107
где C
1
, C
2
, C
3
— произвольные постоянные, определяющие все множество реше-
ний L. Из теоремы 9.2 следует, что все решения системы (12.4) удовлетворяют
аксиомам I–VIII, поскольку сумма двух ее решений X = X
1
+ X
2
и произведе-
ние αX произвольного действительного числа α на решение X также являются
решениями, т.е. принадлежат множеству L. Свойства коммутативности, ассо-
циативности и дистрибутивности этих операций естественным образом следуют
из свойств матриц-столбцов. Таким образом, множество решений системы (12.4)
удовлетворяет аксиомам I–VIII, т.е. действительно образует линейное простран-
ство L. Сами решения системы (12.4) являются его векторами.
Чтобы найти размерность L и его базис, напо мним, что ранг матрицы си-
стемы равен трем, в результате чего система (12.4) обладает фундаментальной
системой решений, состоящей из трех линейно независимых решений или векто-
ров, согласно введенной выше терминологии. Любой четвертый вектор (или ре-
шение) является их линейной комбинацией, следовательно, максимальное число
линейно независимых векторов пространства L равно трем, что определяет и
его размерность. Поскольку в линейном пространстве размерности n = 3 б азис
состоит из трех линейно независимых векторов ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
, то в их качестве можно
выбрать, например, векторы, об разующие фундаментальную систему решений:
~e
1
= X
1
=
−1/4
7/4
1
0
0
, ~e
2
= X
2
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
3
= X
3
=
−1
0
0
0
1
. (12.5)
Тогда любое решение системы (12.4 ) или любой вектор пространства L можно
разложить по этому базису:
X = C
1
~e
1
+ C
2
~e
2
+ C
3
~e
3
,
при этом величины C
1
, C
2
и C
3
можно рассматривать как координаты вектора
X в базисе ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
.
Полученный результат можно распространить на общий случай однородных
систем линейных уравнений
AX = 0 (12.6)
с матрицей A размера m × n:
a
1
1
. . . a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
1
. . . a
m
n
(12.7)
и числом неизвестных, равным n:
X =
x
1
.
.
.
x
n
.
Действительно, если rang A = r < n, то решения системы (12.6) образуют ли-
нейное пространство размерности (n − r) с базисом, состоящим из (n − r) ли-
нейно независимых в екторов ~e
i
, i = 1, n − r, коими являются (n − r) решений
фундаментальной системы однородной системы (1 2.6).
Если же ra ng A = r = n, то мы по лучим пространство, состоящее из одного
вектора – тривиального решения
~
0 =
0
.
.
.
0
.

Страницы