ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
106 Глава 3. Линейные пространства
называется линейной комбинацией векторов ~x
1
, . . . , ~x
k
, числа α
1
, . . . , α
k
— коэф-
фициентами этой комбинации.
Система векторов ~x
1
, . . . , ~x
k
∈ L называется линейно зависимой, если
среди коэффициентов α
1
, . . . , α
k
∈ K существует по крайней мере одно число
α
j
6= 0, j = 1, k, такое, что
k
X
l=1
α
l
~x
l
= 0, (12.2)
и линейно независимой, если равенство (12.2) возможно только при α
l
≡ 0,
l = 1, k.
Натуральное число n называется размерностью линейного пространства
L, если в этом пространстве имеется n линейно независимых элементов (векто-
ров), а любые ( n + 1)-е векторы линейно зависимы. Для обозначения размерно-
сти линейного пространства используется символ dim L = n.
♦ Другими словами, размерность пространства равна максимальному числу
содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномер-
ным. Если в пространстве можно найти сколь угодно много линейно независи-
мых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным.
Нашей ближайшей целью является изучение конечномерных пространств.
Упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов ~e
k
, k = 1, n,
называется базисом линейного пространства L, если для любого вектора ~x
существуют такие числа x
1
, x
2
, . . . , x
n
, что
1
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
=
n
X
j=1
x
j
~e
j
. (12.3)
Эта линейная комбинация называется разложением вектора ~x по базису ~e
j
, а
числа x
j
– координатами вектора ~x в базисе ~e
j
.
♦ Другими словами, любая система из n линейно независимых векторов,
принадлежащих L
n
, образует его базис.
Прежде чем перейти к изучению свойств линейных пространств, вытекаю-
щих из системы а ксиом и определений, рассмотрим несколько примеров. Нач-
нем с систем однородных линейных уравнений, которые мы рассмотрели в
предыдущей главе.
Пример 12.1. Показать , что решения однородной системы
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0, (12.4)
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0
образуют линейное пространство. Указать его размерность и базис.
Реш ение. На помним, что решение указанной системы имеет в ид ( см. при-
мер 9.3)
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−C
1
/4 − 3C
2
/4 − C
3
7C
1
/4 + 7C
2
/4
C
1
C
2
C
3
,
1
Здесь и в дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, мы не будем различать
верхние и нижние индексы у координат векторов и компонент матриц: строк и столбцов.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
