ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ГЛАВА 3
Линейные пространства
12. Линейные пространства
В школьном курсе геометрии изучаются направленные отрезки — векторы.
Для векторов установлены по определенным правилам действия: известно, что
означает сумма двух векторов (правило параллелограмма), что означает про-
изведение вектора на вещественное число (направление не меняется, а длина
умножается на это число). При этом выполняются обычные законы арифмети-
ки.
Определение линейного пространства обобща ет определение совокупности
всех векторов. Обобщение производится путем отвлечения от конкретной при-
роды объектов и прав ил операций над ними. Таким образом, приходим к сле-
дующему определению.
Множество L называется линейным (векторным) пространством над чис-
ловым полем K, если для его элементов ~x, ~y, ~z, . . . установлены операции,
называемые сложением: ~x +~y = ~z, ~z ∈ L, и умножением на число λ ∈ K: λ~x = ~z,
~z ∈ L, и подчиненные следующим аксиомам.
I. Операция сложения в екторов коммутативна, т.е. для всех ~x, ~y ∈ L спра-
ведливо ~x + ~y = ~y + ~x.
II. Операция сложения векторов ассоциативна: для всех ~x, ~y, ~z ∈ L справед-
ливо (~x + ~y) + ~z = ~x + (~y + ~z).
III. Для всех ~x ∈ L существует нулевой элемент
~
0 ∈ L, такой, что ~x +
~
0 = ~x.
IV. Для всех ~x ∈ L существует такой противоположный элемент ~y ∈ L, что
~x + ~y =
~
0.
V. Для всех ~x ∈ L существует единичный элемент 1 ∈ K, такой, что 1·~x = ~x.
VI. Операция умножения вектора на число ассоциативна: для любого ~x ∈ L
и любых α, β ∈ K справедливо α(β~x) = (αβ)~x.
VII. Операция умножения вектора на сумму чисел дистрибутивна: для лю-
бых α, β ∈ K и любого ~x ∈ L справедливо (α + β)~x = α~x + β~x.
VII I. Операция умножения числа на сумму векторов дистрибутивна: для
любых α ∈ K и любых ~x, ~y ∈ L справедливо α(~x + ~y) = α~x + α~y.
Элементы ~x , ~y ∈ L называются векторами, в частности элемент
~
0 назы-
вается нулевым вектором, а противоположный элемент ~y — противоположным
вектором.
Линейное пространство называется действительным, если K — поле дей-
ствительных чисел, и комплексным, если K — поле комплексных чисел.
♦ Как конкретно определены правила «сложения» и «умножения элемен-
тов на число», не имеет значения. Важно выполнение аксиом. Одно и то же
множество при различных определениях о пераций над его элементами может
образовывать линейное пространство, а может и не образовыват ь. Так, множе-
ство вещественных положительных чисел при обычном определении сложения
и умножения линейным пространством не является. Но если определить умно-
жение на число α как α · x =: x
α
, а сумму как x + y =: xy, то, как легко
проверить, аксиомы I–VII выполняются.
Отметим, что при невнимательном прочтении определения линейное про-
странство ошибочно отождествляют с пространством, введенным в курсе гео-
метрии средней школы. Однако это не та к. Введенное в ыше линейное простран-
ство не определяет, например, прямые, угол между прямыми (или векторами),
расстояние между точками, и даже само понятие точки оно не определяет.
В этом смысле введенное линейное пространство является фундаментом для
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
