ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Линейные пространства 105
построения пространств более сложной конфигурации. Так, дополнение линей-
ного пространства понятием точки превращает его в точечно-векторное, или
аффинное, пространство. Введение в последнем понятия скалярного произве-
дения, позволяющего определять длины векторов и углы между ними, делает
пространство не только аффинным, но и евклидовым, которое по своим свой-
ствам наиболее близко к пространству, изучаемому в школьном курсе геомет-
рии.
Теорема 12.1. В любом линейном п ространстве существует единственный
нуль.
Доказательство. Пусть существуют
~
0
′
и
~
0
′′
∈ L. Положим в аксиоме III ~x =
~
0
′
,
~
0 =
~
0
′′
и получим
~
0
′
+
~
0
′′
=
~
0
′
.
Положив в той же аксиоме ~x =
~
0
′′
,
~
0 =
~
0
′
, найдем
~
0
′
+
~
0
′′
=
~
0
′′
.
Следовательно,
~
0
′
=
~
0
′′
, что и требовалось доказать.
Теорема 12.2. В любом линейном пространстве L, ~x ∈ L, существует един-
ственный противоположный элемент.
Доказательство. Пусть для некоторого элемента ~x ∈ L существуют такие ~y
1
и ~y
2
∈ L, что ~x + ~y
1
= 0, ~x + ~y
2
= 0. Тогда
~y
2
= ~y
2
+
~
0 = ~y
2
+ (~x + ~y
1
) = (~y
2
+ ~x) + ~y
1
=
~
0 + ~y
1
= ~y
1
.
Следовательно, ~y
2
= ~y
1
.
Теорема 12.3. Для любого ~x ∈ L и 0 ∈ K справедливо 0 · ~x =
~
0 ∈ L.
Доказательство. Вычислим
0 · ~x + ~x = 0 ·~x + 1 · ~x = (0 + 1)~x = 1 ·~x = ~x.
Следовательно, ~x = 0 · ~x + ~x, и по определению
~
0 = 0 · ~x.
♦ В дальнейшем для обозначения и нулевого вектора
~
0, и числа 0 будем
использовать один и тот же символ: 0. Из контекста всегда будет ясен его смысл
и размерность.
Теорема 12.4. Для любого ~x ∈ L противоположным элементом служит ~y =
(−1)~x.
Доказательство. Согласно предыдущему свойству,
~
0 = 0 · ~x . Следовательно,
0 = 0 · ~x = (1 − 1)~x = ~x + (−1)~x,
т.е. ~y = (−1)~x.
Пусть ~x
1
, . . . , ~x
k
— векторы, принадлежащие пространству L, а α
1
, . . . , α
k
∈
K. Вектор
~y =
k
X
l=1
α
l
~x
l
(12.1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
