Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

108 Глава 3. Линейные пространства
Такое пространство называется нулевым. Единственный нулевой вектор явля-
ется по необходимости противоположным самому себе. Операции в нулевом про-
странстве задаются равенствами 0 ± 0 = 0, α0 = 0.
Интересно, что системы вида (12.6) порождают еще одно пространство. Дей-
ствительно, если рассматривать все множество ма триц (12.7), о пределяющих
системы (12.6), то о ни образуют линейное пространство матриц размера m ×n.
Это следует из примера.
Пример 12.2. Показать, что множество матриц размера m × n образует ли-
нейное пространство размерности (mn) с базисом
~e
1
=
1 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
, ~e
2
=
0 1 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
, . . . , ~e
n
=
0 0 . . . 1
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
,
~e
n+1
=
0 0 . . . 1
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
, ~e
n+2
=
0 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
, . . . ,
~e
2n
=
0 0 . . . 0
0 0 . . . 1
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
, . . . , . . . , ~e
mn−n
=
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
1 0 . . . 0
,
~e
mn−(n−1)
=
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 1 . . . 0
, . . . , ~e
mn
=
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
. (12.8)
Решение. Воспользовавшись введенными ранее для матриц операциями сло-
жения и умножения на число, легко убедиться, что аксиомы I–VIII для них
выполняются. Так же несложно убедиться в линейной независимости векторов
(12.8). Действительно, линейная комбинация
a
1
1
~e
1
+ a
1
2
~e
2
+ . . . + a
m
n
~e
mn
=
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . .
a
m
1
. . . a
m
n
!
(12.9)
обращается в нуль только в случае равенства нулю всех коэффициентов a
i
j
, i =
1, m, j = 1, n. Число базисных векторов равно mn. Это же число, следовательно,
определяет и размерность пространства.
Разложение (12.9) можно рассматривать как разложение вектора, которым
является матрица размера m × n, по базису (12.8). Интересно, что элементы
матрицы в этом случае являют ся одновременно ее координатами в базисе (12.8).
Еще раз подчеркнем, что такие понятия, как длина матрицы, расстояния
и угол между матрицами в этом линейном пространстве не допускают прямой
геометрической интерпретации.
Частными случаями пространства, рассмотренного в примере 12.2, являют -
ся пространства, образованные матрицами-строками или матрицами-столбцами,
которые еще называются арифметическими векторами. Например, матрицы-
столбцы (арифметические векторы)
X =
x
1
x
2
. . .
x
n
(12.10)

Страницы