ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
116 Глава 3. Линейные пространства
Действительно, так как сумма линейных комбинаций (13.1) и произведение
линейной комбинации (13.1) на число снова являются линейными комбинация-
ми (13.1), то выполняются условия I, II, и, следовательно, линейная оболочка
M есть подпространство пространства L. Если же из порождающей системы
векторов P удалить те, что линейно зависят от остальных (если такие есть),
то получится максимальная система линейно независимых векторов, которую
можно рассматривать как базис подпространства M. Очевидно, что такая опе-
рация не может изменить подпространство M, т.е. линейную оболочку по рож-
дающей системы P.
В связи с этим любое подпространство M пространства L можно рассмат-
ривать как линейную оболочку своего базиса. При этом тривиальные подпро-
странства 0 и L
n
можно рассматривать как линейные оболочки соответственно
нулевого вектора
~
0 и полного базиса
~
E = (~e
1
, ~e
2
, . . . ,~e
n
).
♦ Иногда линейную оболочку M порождающей системы ~x
j
∈ P, j = 1, k, на-
зывают подпространством M, натянутым на систему векторов ~x
j
. Следова-
тельно, любое подпространство M пространства L является подпространством,
натянутым на свой базис.
Пример 13.1. Показать, что линейная оболочка системы по линомов
−3t
2
− 1, 2t
2
+ t, −t
совпадает с пространством L
3
всех полиномов степени n 6 2.
Решение. В пространстве полиномов рассмотрим систему векторов
~x
1
= −3t
2
− 1, ~x
2
= 2t
2
+ t, ~x
3
= −t. (13.2)
Будем считать ее порождающей системой P некоторой линейной об олочки M.
Исследуем эту систему на линейную зависимость, т.е. рассмотрим, об ращается
ли в нуль их линейная комбинация
α
1
~x
1
+ α
2
~x
2
+ α
3
~x
3
.
Подставив сюда вектор (13.2), запишем
α
1
(−3t
2
− 1) + α
2
(2t
2
+ t) + α
3
(−t) = 0
или
−α
1
+ t(α
2
− α
3
) + t
2
(−3α
1
+ 2α
2
) = 0.
Для любых t эта сумма обращается в нуль при условиях
α
1
= 0,
α
2
− α
3
= 0,
3α
1
+ α
2
= 0.
Полученная система имеет только тривиальное решение α
1
= α
2
= α
3
= 0.
Из этого следует, что порождающая система векторов (13.2) является линейно
независимой и может рассматриваться как базис в подпространстве полиномов.
С другой стороны, в пространстве L
3
полиномов степени n 6 2 в качестве базиса
можно выбрать в екторы
1, t, t
2
. (13.3)
Но порождающая система P (13.2) предста вляет собой линейную комбинацию
из векторов базиса (13.3). Следовательно, линейная оболочка M векторов (13.2)
действительно является пространством L
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
