ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
118 Глава 3. Линейные пространства
Поскольку ранг матрицы этой системы равен двум, то она имеет фундамен-
тальную систему решений, состоящую из трех (5 −2 = 3) векторов. Обозначим
их через ~e
3
, ~e
4
, ~e
5
. Эти векторы, согласно (9.12), можно записать в виде
~e
3
=
−1/4
7/4
1
0
0
, ~e
4
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
5
=
−1
0
0
0
1
. (13.8)
Поскольку любое решение системы (13.6) представляет собой линейную комби-
нацию
~x = x
3
~e
3
+ x
4
~e
4
+ x
5
~e
5
, (13.9)
то трехмерное пространство решений (13.9) системы (13 .6) представляет собой
линейную оболочку, натянутую на фундаментальную систему решений систе-
мы (13.8). Она же является и ее базисом. Этот базис, согласно теореме 13.1,
можно дополнить до ба зиса пятимерного пространства, например, следующим
образом:
~e
1
=
1
0
0
0
0
, ~e
2
=
0
1
0
0
0
, ~e
3
=
−1/4
7/4
1
0
0
, ~e
4
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
5
=
−1
0
0
0
1
.
(13.10)
В том, что система (13.10) образует базис, можно убедиться, соста вив матрицу
из столбцов (13.10):
A =
1 0 1/4 −3/4 −1
0 1 7/4 7/4 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
.
Проведя над ней указанные элементарные преобразования, найдем
1 0 1 / 4 −3/4 −1
0 1 7 / 4 7/4 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
R
3
−R
1
/4−7R
2
/4
R
4
+3R
1
/4−7R
2
/4
∼
R
5
+R
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
.
Отсюда следует, что rang A = 5, т.е. система векторов (13.10) линейно незави-
сима и действительно образует базис в пространстве L
5
.
Если теперь вектор ~x (13.9) рассматривать как вектор из пространства L
5
,
то в базисе (13.10 ) он имеет ко ординаты x
1
= x
2
= 0:
~x = 0 ·~e
1
+ 0 ·~e
2
+ x
3
~e
3
+ x
4
~e
4
+ x
5
~e
5
,
т.е. пространство решений (13.9) образует линейную оболочку фундаменталь-
ной системы векторов (13.8), яв ляющуюся трехмерным подпространством про-
странства L
5
.
Покажем, что условия x
1
= 0 и x
2
= 0 определяют трехмерное подпростран-
ство в любом базисе пространства L
5
. Рассмотрим вместо базиса (13.10) новый
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
