Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120 Глава 3. Линейные пространства
Таким образом, однородные системы линейных уравнений, которые можно
рассматривать как математические модели физических, экономических и дру-
гих задач, в терминах линейного пространства имеют смысл некоторой линей-
ной оболочки. Аналогично неоднородные системы линейных уравнений мож-
но рассматривать как линейные многообразия неко торого линейного простран-
ства.
Если L
k
— некоторое подпространство линейного пространства L
n
, то
множество в екторов
~x = ~x
1
+ ~x
0
, (13.13)
где ~x, ~x
0
∈ L
n
, ~x
1
∈ L
k
, называется линейным многообразием, полученным сдви-
гом в пространстве L
n
подпространства L
k
на вектор ~x
0
.
Пример 13.4. Задана система уравнений
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 1,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 4, (13.14)
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0.
1. Доказать, чт о множество решений этой системы есть линейное многообра зие
в пространстве L
5
.
2. Определить, сдвигом в каком пространстве получается это линейное много-
образие. Найти размерность и какой-либо базис этого подпространства.
3. Найти какой-либо вектор сдвига.
Решение. В предыдущем примере было показано, что решение приведенной
(однородной) системы для системы (13.14) представляет собой трехмерное под-
пространство L
3
пространства L
5
с базисом, состоящим из векторов фундамен-
тальной системы решений (13.8), т.е.
~e
3
=
1/4
7/4
1
0
0
, ~e
4
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
5
=
−1
0
0
0
1
.
Кроме того, из теоремы 10.3 (о структуре общего решения неоднородной систе-
мы) следует, что решение системы (13.14) можно записать в виде суммы
~x = ~x
0
+ ~x
1
, (13.15)
где ~x
0
— любое частное решение неоднородной системы (13.14), а ~x
1
— общее
решение (13.9) ее приведенной системы
~x
1
= x
3
~e
3
+ x
4
~e
4
+ x
5
~e
5
.
Поскольку ~x
1
∈ L
3
, а ~x
0
∈ L
5
, то, согласно определению, множество векторов
вида (13.15 ) образует линейное многообразие, полученное из подпространства
L
3
. Это подпространство образовано из пространства решений однородной си-
стемы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы (13.14)
— вектор ~x
0
∈ L
5
. Если воспользоваться результатами примера 8.2, то в каче-
стве частного решения можно выбрать, например, вектор
~x
0
=
5/4
−1/4
0
0
0
.

Страницы