ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13. Подпространства 123
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0
и
2x
1
+ 6x
2
− 10x
3
− 9x
4
+ 3x
5
= 0,
L
′′
: 3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0, (13.21)
x
1
+ 5x
2
− 8x
3
− 8x
4
+ 2x
5
= 0,
а также размерности их суммы и пересечения. В каждом пространстве указать
какой-либо его базис.
Решение. Система (13.20) рассматривалась в примере 13.3. Там было показано,
что ее общее решение
~x = x
3
~e
3
+ x
4
~e
4
+ x
5
~e
5
образует трехмерное пространство, т.е. L
′
= L
3
с базисом (13.8):
~e
3
=
−1/4
7/4
1
0
0
, ~e
4
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
5
=
−1
0
0
0
1
.
Рассмотрим теперь систему (13.21). Выполнив над матрицей этой системы ука-
занные элементарные преобразования, получим
2 6 −10 −9 3
3 −1 1 4 3
1 5 −8 −8 2
!
S
1
−S
3
∼
1 1 −2 −1 1
3 −1 1 4 3
1 5 −8 −8 2
!
S
2
−3S
1
∼
S
3
−S
1
1 1 −2 −1 1
0 −4 7 7 0
0 4 −6 −7 1
!
∼
S
1
+S
2
/4
∼
S
3
+S
2
1 0 0 3/4 5/4
0 −4 0 7 −7
0 0 1 0 1
!
−S
2
/4
∼
1 0 0 3/4 5/4
0 1 0 −7/4 7/4
0 0 1 0 1
!
.
Ранг этой матрицы равен трем, следовательно, система имеет общее решение
~x = x
4
~e
4
+ x
5
~e
5
,
образующее двумерное пространство, т.е. L
′′
= L
2
с базисом
~e
4
=
−3/4
7/4
0
1
0
, ~e
5
=
−5/4
−7/4
−1
0
1
. (13.22)
Согласно определению, сумма подпространств L
3
+ L
2
является линейной обо-
лочкой векторов двух базисов: (13.8) и (13.22) . И з столбцов этих векторов со-
ставим матрицу и определим ее ранг, выполнив указанные элементарные пре-
образования:
1/4 −3/4 −1 −3/4 −5/4
7/4 7/4 0 7/4 −7/4
1 0 0 0 −1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
R
4
−R
2
∼
R
5
+R
1
−R
3
1/4 −3/4 −1 0 0
7/4 7/4 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- …
- следующая ›
- последняя »
