ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
126 Глава 4. Аффинные пространства
ГЛАВА 4
Аффинные пространства
14. Аффинные пространства
Центральным понятием курса геометрии в средней школе является поня-
тие точки, которое принимается за одно из исходных. Точка не может быть
определена через другие, более общие объекты, т.е. является неопределяемой.
Понятие вектора как направленного отрезка
−→
AB, принадлежащего некоторому
пространству (плоскому или трехмерному), есть производное от понятия точки,
если вектор рассматривается как упорядоченная пара точек A и B, поскольку
она однозначно определяет
−→
AB.
В разделе «Линейное пространство» было введено понятие линейного (век-
торного) пространства, элементы которого называются векторами. Для того
чтобы сопоставить линейное пространство с пространствами, свойства кото-
рых изучались в школьном курсе геометрии, линейное пространство необходи-
мо дополнить новым объектом – точкой. Такие пространства будем называть
точечно-векторными или аффинными.
Пусть A — некоторое множество, элементы которого будем называть точ-
ками и обозначать прописными буквами латинского алфавита A, B, . . . , M, N.
Далее, пусть L — линейное пространство над полем K. Каждой упоря до ченной
паре точек M, N из A сопоставим вектор ~x из L, который будем об означать
~x =
−−→
MN .
Аффинным (от латинского «родственный») пространством A над вектор-
ным пространством L называется совокупность точек, каждой паре которых
M, N поста влен в соответствие вектор ~x из L при условии, что
1) для каждой точки M и ка ждого вектора ~x найдется одна и только одна точка
N такая, что
−−→
MN = ~x;
2) для любых трех точек M, N, P выполняется равенство
−−→
MN +
−−→
NP =
−−→
MP . (14.1)
Другими словами, аффинное пространство A — это множество
элементов двух видов: точек и векторов, связь между которыми
задается с помо щью следующей о перации. Если из произволь-
ной точки M построить некоторый вектор ~x, то можно опреде-
лить некоторую точку N такую, что
−−→
MN = ~x. Точка M называ-
ется началом, а точка N — концом вектора
−−→
MN. Сами векторы
−−→
MN называются
свободными векторами пространства A.
Из определения аффинного пространства следуют почти очевидные утвер-
ждения.
Теорема 14.1. Для четыр¨ех точек M, M
′
и N, N
′
аффинного пространства
A равенство
−−→
MN =
−−−→
M
′
N
′
(14.2)
имеет место тогда и только тогда, когда
−−−→
MM
′
=
−−→
NN
′
. (14.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
