Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15. Плоскости в аффинном пространстве 129
Преобразование репера (14.9), (14.10) называется п араллельным перено-
сом.
В общем случае, когда осуществляются параллельный перенос (14.9) и пре-
образование базиса линейного пространства (12.26), новые координаты точки
M будут определяться соотношением
x
′
1
x
′
2
. . .
x
′
n
= P
−1
x
1
x
2
. . .
x
n
−
α
1
α
2
. . .
α
n
. (14.11)
Это соотношение останется справедливым и в том случае, если координаты
x
′
i
и x
i
рассматривать как координаты вектора
−−→
OM. В такой интерпретации
формула (14.11) указывает на основное различие между линейными и аффин-
ными пространствами: возможность параллельного переноса в аффинном про-
странстве.
Аффинное пространство ближе к пространству, изучаемому в элементар-
ной геометрии, чем линейное. Однако в аффинном пространстве по-прежнему
не определены такие понятия, как длина, площадь, угол и т.д. Именно поэтому
в аффинном пространстве можно исследовать только объекты, не связанные с
этими понятиями. Такими объектами являются прямые, плоскости, гиперплос-
кости и их совокупности.
♦ Несмотря на кажущуюся на первый взгляд ограниченность и простоту
этих объектов, их исследование позволяет решать целый класс задач в самых
различных приложениях.
15. Плоскости в аффинном пространстве
Понятие плоскости в аффинном пространстве можно ввести, отталкиваясь
от понятия многообразия (13.13) линейного пространства. Мы поступим, одна-
ко, по-другому.
Пусть в аффинном пространстве A
n
с репером (0, ~e
1
, . . . ,~e
n
) задана точка
N, а в соответствующем линейном пространстве L
n
зафиксировано некоторое
подпространство L
r
.
Множество всех точек M ∈ A
n
, для которых
−−→
NM ∈ L
r
, называется
r-мерной плоскостью π
r
, проходящей через точку N параллельно подпростран-
ству L
r
. При этом подпространство L
r
называется направляющим подпростран-
ством, а точка M — текущей точкой плоскости π
r
.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
a) если r = 0, то плоскость состоит из одной точки N. Поэто му каждую точку
аффинного пространства можно рассматривать как нульмерную плоскость;
б) если r = n, то плоскость совпадает со всем пространством A
n
;
в) если r = 1, то такую плоскост ь называют прямой;
г) если r = n − 1, то такую плоскость называют гиперплоскостью.
♦ Для трехмерного аффинного пространства A
3
одномерные плоскост и сов-
падают с прямыми линиями, рассматриваемыми в элементарной геометрии.
Аналогично двумерные плоскости (гиперплоскости) в этом случае совпадают
с обычными плоскостями.
Теорема 15.1. Всякая r-мерная п лоскость π
r
аффинного пространства A
n
сама является r- мерным аффинным пространством A
r
.

Страницы