ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
134 Глава 4. Аффинные пространства
Пример 15.3. Найти параметрическое уравнение плоскости, заданной систе-
мой линейных уравнений
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 1,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 4, (15.15)
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0.
В аффинном пространстве A
5
указать какую-либо точку, через которую эта
плоскость проходит, а также направляющее подпространство этой плоскости.
Решение. Воспользуемся результатами примера 10.1, в котором получено об-
щее решение системы (15.15). Произвольные постоянные C
1
, C
2
, C
3
положим
равными параметрам t
1
, t
2
, t
3
. Получим систему параметрических уравнений
плоскости
x
1
=
5
4
−
1
4
t
1
−
3
4
t
2
− t
3
,
x
2
= −
1
4
+
7
4
t
1
+
7
4
t
2
,
x
3
= t
1
, (15.16)
x
4
= t
2
,
x
5
= t
3
.
Из (15.16) следует, что система (15.15) определяет в аффинном пространстве A
5
трехмерную плоскость π
3
, проходящую через точку N с координатами
(5/4, −1/4, 0, 0, 0). Придавав параметрам t
1
, t
2
, t
3
другие значения, можно полу-
чить координаты других точек, принадлежащих плоскости π
3
. Например, при
t
1
= t
2
= t
3
= 1 получим точку N
1
с координатами (−3/4, 13/4, 1, 1, 1).
Из примера 10.1 также следует, что приведенная система системы (15.15),
т.е. однородная система
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0, (15.17)
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0
обладает фундаментальной системой решений
X
1
=
−1/4
7/4
1
0
0
, X
2
=
−3/4
7/4
0
1
0
, X
3
=
−1
0
0
0
1
. (15.18)
Поскольку векторы (15.18) являются линейно независимыми, то их линейная
оболочка и образует направляющее подпространство L
3
плоскости π
3
.
Пример 15.4. При каких значениях λ система линейных уравнений
x
1
+ λx
2
+ 2x
3
= 0,
4x
1
− x
2
+ 7x
3
= 0, (15.19)
2x
1
+ x
2
+ 3x
3
= 0
определяет прямую линию в трехмерном аффинном пространстве A
3
. Записать
каноническое уравнение этой прямой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- …
- следующая ›
- последняя »
