ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 141
то именно е¨е можно выбрать в качестве базиса направляющего подпространства
L
3
.
В результате, следуя определению (15.3), запишем параметрическую систе-
му уравнений плоскости пересечения гиперплоскостей (15.38 )
x
1
= 1 − t
1
+ t
2
− t
3
,
x
2
= t
1
,
x
3
= 3t
1
− 5t
2
+ 3t
3
,
x
4
= t
2
,
x
5
= t
3
.
♦ Рассмотренное выше понятие пересечения гиперплоскостей в аффинном
пространстве A
n
можно обобщить на плоскости меньшей размерности и ввести
понятия параллельных и скрещивающихся плоскостей.
Исследуем вопрос о взаимном расположении плоскостей в аффинном про-
странстве.
16. Взаимное расположение плоскостей
в аффинном пространстве
I. Пересекающиеся плоскости
Пересечением двух плоскостей π
k
и π
l
, представленных а ффинными про-
странствами A
k
и A
l
над линейными пространствами L
k
и L
l
соответственно,
называется плоскость, представляющая собо й аффинное пространство над пе-
ресечением линейных пространств L
k
∩L
l
с начальной точкой, принадлежащей
пространствам A
k
и A
l
одновременно.
Рассмотрим некоторые свойства пересечения плоскостей, вытекающие из его
определения.
1. Если пересечением пространств L
k
и L
l
является нулевое подпростран-
ство, то плоскости пересекаются в одной точке.
2. Если одно из пространств пересекающихся плоскостей является подпро-
странством другого, то соответствующая плоскость целиком принадлежит дру-
гой, при этом плоскость пересечения совпадает с исходной плоскостью меньшей
размерности. Например, если L
k
⊂ L
l
, т о π
k
⊂ π
l
, прич¨ем π
m
= π
k
, где π
m
—
плоскость пересечения. Очевидно, что при k = l = m все три плоскости совпа-
дают: π
k
= π
l
= π
m
.
3. Если плоскость π
m
является пересечением плоскостей π
k
и π
l
, то суще-
ствует единственная плоскость π
r
размерности r = k + l − m, содержащая π
k
и π
l
, прич¨ем ни в какую плоскость меньшей размерности плоскости π
k
и π
l
не
могут быть вложены одновременно. Направляющее подпространство L
r
плос-
кости π
r
является суммой направляющих подпространств L
k
и L
l
. Эта сумма
является прямой суммой только в том случае, когда π
k
и π
l
пересекаются по
нулевому пространству m = 0, т.е. в одной точке. Если же k + l − m = r = n,
роль плоско сти π
r
играет вс¨е аффинное пространство A
n
.
4. Если пересекающиеся плоскости π
k
и π
l
содержатся в какой-либо плоско-
сти π
r
, то размерность m их плоскости пересечения π
m
удовлетворяет неравен-
ству
m > k + l − r. (16.1)
В частности,
m > k + l − n (16.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
