ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
144 Глава 4. Аффинные пространства
Решение. Эти системы рассматривались в примерах 13.3 и 13.5, где было по-
казано, что в пространстве A
5
плоскость π представляет собой трехмерное аф-
финное пространство A
3
, а плоскость π
′
— двумерное аффинное пространство
A
2
. Поэтому плоскость π об означим через π
3
, а π
′
— через π
2
.
Согласно теореме 15.2, пересечение плоскостей определяется решением объ-
единенной системы (16.7) и (16.8). Общее решение этой системы было получено
в примере 13.5 и совпадает с общим решением системы (16.8), определяющей
плоскость π
2
. Таким образом, плоскость π
2
целиком принадлежит плоскости
π
3
, и, следовательно, плоскость пересечения совпадает с исходной плоскостью
меньшей размерности, т.е. с π
2
.
II. Параллельные плоскости
Плоскость π
k
, проходящая через точку M в направлении подпростран-
ства L
k
, называется параллельной плоскости π
l
, проходящей через точку N в
направлении подпространства L
l
, если L
k
⊂ L
l
. При этом принято говорить,
что плоскость π
l
также параллельна плоскости π
k
.
Легко убедиться, что в трехмерном пространстве такое определение полно-
стью согласуется с определением параллельных прямых и плоскостей в элемен-
тарной геометрии.
Рассмотрим два частных случая, когда совпадают либо точки M и N, либо
размерности плоскостей k = l.
Если точек M и N совпадают, то плоскость π
k
целиком принадлежит плос-
кости π
l
. Такое включение π
k
⊂ π
l
означает, что эти плоскости не только пе-
ресекаются (по плоскости π
k
), но и является параллельными. Так, например,
если прямая принадлежит некоторой плоскости, прямая и плоскость являются
одновременно как пересекающимися, так и параллельными.
Если же плоскости π
k
и π
l
имеют одинаковую размерность k = l, то подпро-
странства L
k
и L
l
совпадают.
Теорема 16.1. Для того чтобы плоскости одинаковой размерности π
k
и π
′
k
были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие им
приведенные однородные системы уравнен ий были эквивалентны .
Доказательство. П усть плоскость π
k
описывается системой AX = B, а плос-
кость π
′
k
— системой A
′
X = B
′
. Тогда их направляющие подпространства L
k
и
L
′
k
описываются однородными системами
AX = 0, A
′
X = 0, (16.9)
соответственно.
Докажем необходимость условия теоремы. Если плоскости π
k
и π
′
k
парал-
лельны, то их направляющие подпространства, согласно определению, совпа-
дают, т.е. L
k
= L
′
k
, но это и означает эквивалентность однородных систем (16.9).
Докажем теперь достаточность условия теоремы. Если однородные систе-
мы (16.9) эквивалентны, то линейные оболочки их фундаментальных решений
определяют одно и то же направляющее подпространство, что и требовалось
доказать.
Следствие 16.1.1. Две гиперплоскости параллельны только тогда, когда в за-
данном репере о ни определяются уравнениями
a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
= b,
a
′
1
x
1
+ . . . + a
′
n
x
n
= b
′
(16.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- …
- следующая ›
- последняя »
