ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
146 Глава 4. Аффинные пространства
В силу линейной независимости столбцов X
1
и X
2
векторы
~e
1
=
1
4
0
!
, ~e
2
=
0
3
1
!
(16.18)
можно рассматривать как некоторый базис, линейная оболочка которого опре-
деляет двумерное пространство L
2
, являющееся направляющим подпростран-
ством плоскости π
2
.
Нетрудно убедиться, что базисный вектор ~e = (1, −5, −3) на прав ляюще-
го подпространства L
1
прямой π
1
является линейной комбинацией векторов
(16.18). Действительно, линейная комбинация ~e = α
1
~e
1
+ α
2
~e
2
или в матричной
форме
1
−5
−3
!
= α
1
1
4
0
!
+ α
2
0
3
1
!
имеет место при α
1
= 1, α
2
= −3. Это означает,
Рис. 6.
что подпространство L
1
целиком принадлежит
L
2
, т.е. L
1
⊂ L
2
. Отсюда, согласно определению,
следует, что плоскость π
2
и прямая π
1
парал-
лельны, причем при любых λ.
Ранее мы установили, что прямая π
1
про-
ходит через точку M с координатами x
1
= 0,
x
2
= −2, x
3
= −1. Определим, при каких значе-
ниях λ эта точка будет принадлежать и плоско-
сти π
2
. Подставив координаты точки M в урав-
нение (16.14), найдем, что при λ = 2 − 3 = −1
точка M принадлежит и прямой, и плоскости.
Таким образом, пря мая π
1
и плоскость π
2
па-
раллельны при любых λ. Однако при λ 6= −1
они параллельны и не пересека ют ся, тогда как
при λ = −1 прямая π
1
целиком лежит в плоскости π
2
, т.е. π
1
и π
2
параллельны
и пересекаются по прямой π
1
(рис. 6).
Этот же вывод можно было получить, решив объединенную систему урав-
нений (16.13) и (16.14), поскольку при λ = −1 эта система имеет нетривиальное
решение (см. пример 7.6), соответствующее прямой π
1
, а при λ 6= −1 она несов-
местна.
Пример 16.5. Записать уравнение прямой π
1
, проходящей через точку
N(1, −4, 2) ∈ A
3
параллельно прямой
π
′
1
:
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1.
(16.19)
Решение. 1-й способ. Как уже было показано в предыдущем примере, прямая
π
′
1
может быть задана параметрическими уравнениями
x
1
= t, x
2
= −2 − 5t, x
3
= −1 − 3t. (16.20)
Как следует из (16.20), данная прямая проходит через точку M с координа-
тами (0, −2, −1)
⊺
в направлении подпространства L
1
, являющегося линейной
оболочкой вектора ~e = (1, −5, −3).
Как следует из теоремы 16.1, искомая и заданная прямые должны иметь од-
но направляющее подпространство. Следовательно, если в уравнениях (16.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
