ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17. Системы линейных неравенств и многогранники 155
полупрямую, координаты всех точек которой x
0
6 0. Таким образом, на любой прямой
π
1
всегда можно выбрать точку O, которая делит эту прямую на два луча (или две
полупрямые), причем на одном луче x
0
> 0, а на другом x
0
< 0. Координата самой
точки O считается нулевой (т.е. x
0
= 0).
Если прямую π
1
рассматривать как одномерное аффинное пространство A
1
, то
точка O является для него гиперплоскостью, которая делит его на два луча или два
полупространства, для которых x
0
> 0 и x
0
< 0 соответственно.
Для многомерных плоскостей пространства A
n
аналогом луча, или полупрямой,
служит полуплоскость и, в частности, полупространство, к определению которых мы
и переходим.
Открытыми полупространствами пространства A
n
называются две его части,
которые получаются разбиением исходного пространства некоторой гиперплоскостью
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
− b = 0. (17.8)
Полупространства характеризуются неравенствами
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
− b > 0,
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
− b < 0
(17.9)
соответственно.
Открытые полупространства (17.9), дополненные гиперплоскостью (17.8), назы-
ваются замкнутыми полупространствами. Одно из них состоит из точек, координа-
ты которых удовлетворяют неравенству
a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
− b > 0, (17.10)
а другое
a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
− b 6 0. (17.11)
♦ Если концы отрезка M и N принадлежат разным открытым полупространствам
(17.9), то отрезок M N, согласно следствию 16.2.5, обязательно пересекает гиперплос-
кость (17.8). Здесь существенно, что аффинное пространство A
n
вещественно, по-
скольку можно показать, что в комплексном пространстве никакая гиперплоскость
не разделяет пространство подобно тому, как одна прямая не разделяет трехмерное
действительное пространство. Другими словами, это означает, что если точки M и
N в комплексном пространстве не принадлежат какой-либо гиперплоскости, то их
можно соединить линией, не пересекающей эту гиперплоскость.
Мы рассмотрели два предельных случая: лучи или полупрямые и полупростран-
ства. Однако понятие полуплоскости легко обобщить и на любую плоскость π
k
произ-
вольной размерности k < n из A
n
. В самом деле, согласно теореме 15.1, плоскость π
k
можно рассматривать как подпространство A
k
⊂ A
n
. Применив к аффинному про-
странству A
k
процедуру разбиения (17.10), (17.11), получим понятие полупростран-
ства пространства A
k
. Эти полупространства называются полуплоскостями плоско-
сти π
k
.
Множество G точек аффинного пространства называется выпуклым, если две
произвольные точки M, N, принадлежащие G, можно соединить отрезком MN, це-
ликом лежащим в G.
Простейшими примерами выпуклых множеств служат отрезки, плоскости любой
размерности, все пространство A
n
. Множество, состоящее из одной точки, и пустой
множество также считаются выпуклыми по определению.
Для двумерной плоскости π
2
на рис. 11,а изображено выпуклое множество точек,
а на рис. 11,б — невыпуклое.
Непосредственно из определения следует, что пересечение любой совокупности вы-
пуклых множеств само является выпуклым множеством. Действительно, если точки
M и N принадлежат пересечению некоторой совокупности выпуклых множеств, то
отрезок MN принадлежит каждому из этих множеств, а значит, и их пересечению.
Точка M выпуклого множества G называется крайней (угловой), если через
нее нельзя провести ни один отрезок, который состоял бы только из точек данного
множества и для которого она была бы внутренней точкой.
♦ Точки A, B, C, D на рис. 11,в являются крайними (угловыми).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- …
- следующая ›
- последняя »
