Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

160 Глава 4. Аффинные пространства
Пример 17.3. Многогранник в некотором базисе ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
, ~e
4
задан как выпук-
лая оболочка системы точек пространства A
4
: O(0, 0, 0, 0), A(1, 0, 0, 0), B(0, 1, 0, 0),
C(1, 1, 0, 0), D(0, 0, 1, 0), E(0, 0, 0, 1), F (0, 0, 1, 1). Написать систему линейных нера-
венств, задающих этот многогранник. Найти все его трехмерные грани и координаты
всех точек многогранника.
Решение. Начнем с системы неравенств, определяющих выпуклую оболочку задан-
ных точек. Заметим, что координата x
4
у всех заданных точек равна либо 0, либо 1
(рис. 16). Это означает, что гиперплоскость x
4
= 0, которая разделяет все простран-
ство A
4
на два полупространства x
4
< 0 и x
4
> 0, содержит точки O, A, B, C, D, имею-
щие координату x
4
= 0, а точки E и F с координатой x
4
= 1 лежат по одну сторону от
гиперплоскости x
4
= 0 и принадлежат полупространству x
4
> 0. Поэтому неравенство
x
4
> 0 является первым из искомой системы неравенств, определяющих выпуклую
оболочку заданных точек OABCDEF . Аналогично можно установить, что гипер-
плоскость x
3
= 0, разделяющая пространство A
4
на два полупространства x
3
< 0 и
x
3
> 0, содержит пять точек O, A, B, C, E, а остальные две точки F и D принадле-
жат полупространству x
3
> 0. Таким образом, координаты всех точек удовлетворяют
неравенству x
3
> 0, которое следует включить в систему неравенств, определяющих
выпуклую оболочку этих точек. Далее устанавливаем, что гиперплоскость x
2
= 0 со-
держит пять точек O, E, F, D, A и две точки B и C принадлежат полупространству
x
2
> 0. В свою очередь, гиперплоскость x
1
= 0 содержит пять точек O, E, F, D, B и
две точки A и C принадлежат полупространству x
1
> 0. Таким образом, координаты
всех точек удовлетворяют неравенствам x
2
> 0 и x
1
> 0.
Заметим, что координаты всех точек удо-
Рис. 16.
влетворяют еще четырем неравенствам: x
1
+
x
3
6 1, x
1
+ x
4
6 1, x
2
+ x
3
6 1, x
2
+ x
4
6 1.
Действительно, точки A, D, C, F принадле-
жат гиперплоскости x
1
+ x
3
= 1, а точ-
ки O, B, E — полупространству x
1
+ x
3
<
1; точки A, E, C, F — гиперплоскости x
1
+
x
4
= 1, а точки O, B, D — полупростран-
ству x
1
+ x
4
< 1; точки B, D, C , F — ги-
перплоскости x
2
+ x
3
= 1, а точки O, A, E
— полупространству x
2
+ x
3
< 1 и, нако-
нец, точки B, E, C, F принадлежат гипер-
плоскости x
2
+ x
4
= 1, а точки O, A, D —
полупространству x
2
+x
4
< 1. Других нера-
венств, которым бы удовлетворяли коорди-
наты сразу всех точек, не существует. На-
пример, координаты точек A, D, E, C удовлетворяют уравнению x
1
+ x
3
+ x
4
= 1, т.е.
эти точки принадлежат гиперплоскости x
1
+ x
3
+ x
4
= 1, однако точки O, B и точка
F лежат по разные стороны этой гиперплоскости, поскольку координаты точек O, B
удовлетворяют неравенству x
1
+ x
3
+ x
4
< 1, а координаты точки F — неравенству
x
1
+ x
3
+ x
4
> 1.
Мы привели только один пример гиперплоскости, относительно которой заданные
точки лежат по разные стороны. Мы не будем перебирать все возможные гиперплос-
кости и исследовать взаимное расположение заданных точек и этих гиперплоскостей,
хотя для полноценного решения это необходимо. Вместо этого мы рассмотрим дру-
гой метод решения задачи, который и подтвердит, что выпуклая оболочка заданной
системы точек определяется восемью неравенствами
x
1
> 0, x
2
> 0, x
3
> 0, x
4
> 0, (17.22)
x
1
+ x
3
6 1, x
1
+ x
4
6 1, x
2
+ x
3
6 1, x
2
+ x
4
6 1. (17.23)
При этом мы одновременно решим вторую часть задачи по нахождению всех трех-
мерных граней четырехмерного многогранника, являющегося выпуклой оболочкой
заданной системы точек.

Страницы