ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17. Системы линейных неравенств и многогранники 165
Вычислив второй определитель, получим уравнение гиперплоскости π
(12)
3
: x
2
+x
3
+
x
4
= 1, с помощью которого непосредственно у беждаемся, что точки O, A и точка F
лежат по разные стороны π
(12)
3
, поскольку точки O и A принадлежат полупростран-
ству x
2
+ x
3
+ x
4
< 1, а точка F — полупространству x
2
+ x
3
+ x
4
> 1.
Аналогично можно предсказать, что две гиперплоскости, проходящие через чет-
верки точек F, E, B, A и F, D, B, A не являются опорными. Это объясняется тем, что
две точки O и C, не принадлежащие этим гиперплоскостям, находятся по разные сто-
роны диагонали AB параллелограмма OABC, тогда как сама диагональ принадлежит
указанным гиперплоскостям. Как и выше, в этом можно убедиться непосредственно,
исходя из уравнений гиперплоскостей, проходящих через точки F, E, B, A и F, D, B, A
соответственно:
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
= 0,
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 1 1 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
= 0.
Вычислив первый определитель, получим уравнение гиперплоскости π
(13)
3
: x
1
+ x
2
+
x
4
= 1. Нетрудно заметить, что точки O, D и точка C лежат по разные стороны π
(13)
3
,
поскольку точки O и D принадлежат полупространству x
1
+ x
2
+ x
4
< 1, а точка C
— полупространству x
1
+ x
2
+ x
4
> 1.
Вычислив второй определитель, найдем уравнение гиперплоскости π
(14)
3
: x
1
+ x
2
+
x
3
= 1. Очевидно, что точки O, E и точка C лежат по разные стороны π
(14)
3
, по-
скольку точки O и E принадлежат полупространству x
1
+ x
2
+ x
3
< 1, а точка C —
полупространству x
1
+ x
2
+ x
3
> 1.
Последняя оставшаяся гиперплоскость, проходящая через четверку точек E, D, B,
A, также не является опорной, поскольку точки F и C, не принадлежащие ей, находят-
ся по разные стороны диагоналей ED и AB, тогда как сами диагонали принадлежат
этой гиперплоскости. Как и ранее, в этом можно убедиться непосредственно, исходя
из уравнений этой гиперплоскости, проходящей через точки E, D, B, A:
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
= 0.
Вычислив этот определитель, получим уравнение гиперплоскости π
(15)
3
: x
1
+ x
2
+ x
3
+
x
4
= 1, и у бедимся, что точка O и точки F, C лежат по разные стороны π
(15)
3
, по-
скольку координаты точки O удовлетворяют неравенству x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
< 1, а
координаты точек F и C — неравенству x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
> 1.
Таким образом, мы получили уравнения восьми опорных гиперплоскостей π
(1)
3
,
π
(2)
3
, π
(4)
3
, π
(5)
3
, π
(7)
3
, π
(8)
3
, π
(9)
3
, π
(10)
3
, которые содержат трехмерные грани выпуклой обо-
лочки заданной системы точек, которая представляют собой четырехмерный восьми-
гранник с вершинами в точках OABCDEF . Этими трехмерными гранями являются
четыре трехмерных пятигранника (четырехугольные пирамиды) и четыре трехмер-
ных четырехгранника (треугольные пирамиды). Сама система неравенств, опреде-
ляющая восьмигранник OABCDEF , совпадает с найденной ранее системой (17.22),
(17.23).
Ответ на последний вопрос задачи об уравнениях, описывающих координаты то-
чек, принадлежащих многограннику OABCDEF , дают формулы (17.20), (17.21) тео-
ремы 17.2:
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
= λ
0
0
0
0
0
+ λ
1
1
0
0
0
+ λ
2
0
1
0
0
+ λ
3
0
0
1
0
+ λ
4
0
0
0
1
+ λ
5
1
1
0
0
+ λ
6
0
0
1
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- …
- следующая ›
- последняя »
